Outra identidade trigonométrica verificada através dos complexos

Na entrada do dia do \pi , para calcular um dos integrais utilizei a seguinte identidade trigonométrica elementar:

\tan \dfrac{\theta }{2}=\dfrac{1-\cos \theta }{\sin \theta }

\blacktriangleright Fazendo, como dantes, a substituição

z=e^{i\theta }

vem

z^{1/2}=e^{i\theta /2}

e obtemos as fórmulas:

\cos \theta =\dfrac{z+z^{-1}}{2}

\cos \dfrac{\theta }{2}=\dfrac{z^{1/2}+z^{-1/2}}{2}

e

\sin \theta =\dfrac{z-z^{-1}}{2i}

\sin \dfrac{\theta }{2}=\dfrac{z^{1/2}-z^{-1/2}}{2i}.

Logo temos de verificar que

\dfrac{z^{1/2}-z^{-1/2}}{2i}\cdot\dfrac{2}{z^{1/2}+z^{-1/2}}=\dfrac{1-\dfrac{z+z^{-1}}{2}}{\dfrac{z-z^{-1}}{2i}}

Manipulando esta igualdade, chegamos a

\dfrac{z^{-1/2}-z^{1/2}}{z^{1/2}+z^{-1/2}}=\dfrac{2-z-z^{-1}}{z-z^{-1}}

ou, na forma equivalente, a

\left( z^{-1/2}-z^{1/2}\right) \left( z-z^{-1}\right) =\left( z^{1/2}+z^{-1/2}\right)\left( 2-z-z^{-1}\right)

Fazendo as contas verificamos que, quer o primeiro, quer o segundo membros, são iguais a

z^{1/2}-z^{-1/2}-z^{3/2}-z^{-3/2}

o que prova a identidade. \blacktriangleleft

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Outra identidade trigonométrica verificada através dos complexos

  1. Aureliana costa diz:

    SOU ESTUDANTE DO CURSO DE MATEMATICA E TENHO MUITAS DIFICULDADES EM DISCIPLINA TAIS COMO: TOPOLOGIA, MEDIDAS E INTEGRAÇÃO E ANALISE FUNCIONAL, PODE AJUDAR -ME COM RESOLUÇÕES DE EXERCICÍOS E MATERIA EXATA.

    PEÇO QUE INTRODUZA EXERCICÍOS PARA RESOLUÇÃO DOS SEGUINTES TEMAS EM ANALISE COMPLEXA: FUNÇOES ANALÍTICA, INTEGRAIS CONPLEXA, SÉRIES DE POTENCIAS RESÍDUOS E POLOS E TRANSFORMAÇÃO CONFORME, COM EXPLICAÇÃO PARA A RESOLUÇÃO. OBRIGADA.

    • Penso que uma alternativa que pode experimentar é colocar questões, em inglês e uma de cada vez, no sítio de perguntas e respostas Mathematics Stack Exchange, cujo link se encontra na barra lateral.

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