Razão entre dois termos sucessivos da sucessão (ou sequência) de Fibonacci; relação com os mercados financeiros

No artigo de Arsélio Martins,  Média e extrema razão e número de ouro – comentário à margem, de 2.03.10, do GEOMETRIA, cita-se uma passagem de um «texto de um boletim de um banco português», dos analistas de acções Ramiro Loureiro e Sónia Martins, que transcrevo em parte:

« ‘Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100%-61,8%=38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é  161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci (…).’ »

Citando a parte «a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de  61,8%», para dar uma explicação possível, escrevi, em comentário:

« A sucessão de Fibonacci é gerada pela seguinte relação de recorrência x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1} com as condições iniciais x_{1}=x_{2}=1.  Assim

\dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}

\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=1+\lim \dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}=1+\dfrac{1}{\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}}

Se esta sucessão tiver limite, há-de ser maior do que um (por a sucessão de Fibonacci ser crescente) e satisfazer a relação

l=1+l^{-1}

em que

l=\lim \dfrac{x_{n+1}}{x_{n}}=\lim \dfrac{x_{n}}{x_{n-1}}>1

Por isso

l^{2}=l+1

l^{2}-l+1=0

ou

l=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\Phi

e o limite de aproximadamente 61,8\% é o inverso de l :

\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}\approx 0,61803. »

Poderá ver a dedução da fórmula explícita do termo geral da sucessão de Fibonacci nesta minha entrada já antiga.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Demonstração, Fibonacci, Matemática, Recorrência, Sucessões com as etiquetas , , , . ligação permanente.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s