Problema do mês :: Problem of the month #4

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Enunciado do Problema

Prove ou infirme: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx

  • Nota: não se permite a utilização de calculadoras ou computadores. 
  • O prazo limite para apresentar resoluções é 28.03.2010 via email acltavares@sapo.pt ou comentando no blogue.

Problem Statement

Prove or disprove: \pi =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos x-\cos 3x}{x^{2}}dx.

  • Remark: the use of calculators or computers is not allowed
  • The deadline for submitting solutions is March 28, 2010 either via e-mail acltavares@sapo.pt or comment box.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Problema do mês :: Problem of the month #4

  1. Apresentei uma solução deste problema em um post no meu blog através das transformadas de Laplace. Veja no link

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/03/transformadas-de-laplace-e-integrais.html

    • Minha transcrição:

      « Para calcular esta integral, note que

      \dfrac{1}{s^{2}}=\displaystyle\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}dx

      Assim,

      I:=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{\cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) }{s^{2}}ds

      =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }xe^{-sx}\left[ \cos \left( s\right) -\cos \left( 3s\right) \right] dxds

      Invertendo a ordem de integração e usando a definição de transformada de Laplace, temos:

      I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }x\int_{0}^{\infty }\left[ \mathcal{L}\left\{ \cos\left( s\right) \right\} -\mathcal{L}\left\{ \cos \left( 3s\right) \right\}\right] dx

      =\displaystyle\int_{0}^{\infty }\left( \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}\right) dx

      ou seja,

      I=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{9}{9+x^{2}}dx-\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\left[ 3\arctan \left( \dfrac{x}{3}\right) -\arctan \left( x\right) \right] _{0}^{\infty }

      =\dfrac{3\pi }{2}-\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{2\pi }{2}=\pi ,

      ( porque

      \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}-\dfrac{9+x^{2}-9}{9+x^{2}}

      =1-\dfrac{1}{1+x^{2}}-1+\dfrac{9}{9+x^{2}}

      isto é,

      \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}=\dfrac{9}{9+x^{2}}-\dfrac{1}{1+x^{2}}. ) »

      Editado de acordo com o comentário a seguir.

  2. Não falta os x^2, veja a simplificação no meu blog. Acho que eu tinha que ser mais claro.

    Abraço.

    [ Do seu blog
    \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}=\dfrac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}-\dfrac{9+x^{2}-9}{9+x^{2}}=1-\dfrac{1}{1+x^{2}}-1+\dfrac{9}{9+x^{2}}

    ou seja,
    \dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{9+x^{2}}=\dfrac{9}{9+x^{2}}-\dfrac{1}{1+x^{2}}

    Corrigido. Américo]

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