Problema sobre a convergência de um integral impróprio :: An Improper Integral Convergence Problem

Demonstre ou infirme: o integral / Prove or disprove: the integral

\displaystyle{\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx}

é convergente / converges.

25.05.10: corrigida a função integranda /integrand function corrected. Deve ser/Should be 

\dfrac{1}{e^{x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

 em vez de/instead of 

\dfrac{1}{e^{2x}\left( 1-e^{-x}\right)^{2}}

Resolução/Solution: O integral é divergente/The integral diverges:

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{e^{-x}}{\left( 1-e^{-x}\right) ^{2}}dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{e^{-x}-1}\right) dx

=\underset{x\rightarrow \infty }{\lim }\ \dfrac{1}{e^{-x}-1}-\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\ \dfrac{1}{e^{-x}-1}=-1-(-\infty) =\infty

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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