Problema do mês :: Problem of the month #3. (Polinómio real :: Real polynomial). Resolução :: Solution

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Nota: As resoluções seleccionadas não são necessariamente as de maior qualidade matemática.

Remark: Selected solutions are not necessarily the ones that have the best mathematical quality.

Problema: Seja P(x) um polinómio real de grau n\geq 2. Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de P é igual a 1. Prove que \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, em que w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} são as raízes de P^{\prime }(x).

 

Solución de M ( aqui, [Gaussianos], copia):

Si

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

entonces

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces):

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

Tu caso se particulariza con \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Otras soluciones: Dani (aquí [Gaussianos], copia) y MathOMan (aquí).

* * *

 

Resolução de M ( aqui, [Gaussianos], cópia); tradução de Américo Tavares

Se

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

então

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Derivando (tendo especial cuidado com o sinal entre as raízes):

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

A solução é o caso particular \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Outras resoluções: Dani (aqui [Gaussianos], cópia) y MathOMan (aquí).

* * *

Problem: Let P(x) be a real polynomial of degree n\geq 2. Assume that the leading coefficient of P is equal to 1. Prove that \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, where w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} are the roots of P^{\prime }(x).

Solution by M ( here, [Gaussianos], copy); translated by Américo Tavares.

If

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

then

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Now, after diferentiating ( taking special care to the sign between roots), we get:

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

The solution for this problem is the particular case \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Other solvers: Dani ( here [Gaussianos], copy), and MathOMan (here).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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