Descobrir a relação de recorrência de uma sucessão (sequência) e somas estranhas

Neste desafio do Matemativerso pergunta-se qual é o termo seguinte da sucessão

1, 2, 6, 42, 1806,\dots .

A minha resposta, a aguardar moderação e editada aqui em \LaTeX, foi:

« 3263442

porque cada termo da sequência (sucessão) é igual ao produto de dois factores: o termo anterior e a sua soma com um.

2 = 1\times 2

6 = 2\times 3

42 = 6\times 7

1806 = 42\times 43

3263442 = 1806\times 1807

O sétimo será:

3263442\times 3263443 = 10650056950806 »

A relação de recorrência desta sucessão, cuja  condição inicial é x_1=1, pode ser dada pela expressão  

x_n=x_{n-1}(x_{n-1}+1).

Haverá sucessões diferentes desta, mas cujos primeiros termos sejam os apresentados ?

* * *

ADENDA de 20.02.10: alterei o título e acrescento agora um outro desafio colocado, em 17.02.10, pela autora do Matemativerso.

    « Se

 

    2+3=10
    7+2=63
    6+5=66
    8+4=96

    Então

     9+7= ??? »

A minha resposta foi:

« Solução proposta: 144 »

complementada posteriormente por

« Não enviei a minha justificação para o 144. Ei-la:

(2+3)2=10

(7+2)7=63

(6+5)6=66

(8+4)8=96

(9+7)9=144»

É óbvio qual o critério que segui para chegar ao 144: a soma do lado esquerdo da “igualdade” vai ser multiplicada pelo primeiro termo dessa soma, transformando-se então numa verdadeira igualdade. No entanto,  repito o espírito da dúvida colocada acima. Neste caso poderá haver outros padrões que se descubram e que conduzam a resultados diferentes, parece-me a mim.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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