Comprimento de um arco rectificável

Admitamos que temos uma curva paramétrica definida pelas funções

x=f(t) e y=g(t)

e que pretendemos determinar o seu comprimento entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) . Dividamos o intervalo \left[ t_{0},t_{1}\right] em n sub-intervalos \left[ \tau_{k-1},\tau _{k}\right] , em que k=1,2,\ldots ,n, t_{0}=\tau _{0} e t_{1}=\tau _{n}, e unamos os pontos \left( f(\tau _{0}),g(\tau_{0})\right) ,\left( f(\tau _{1}),g(\tau _{1})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{k}),g(\tau _{k})\right) ,\ldots ,\left( f(\tau _{n}),g(\tau_{n})\right) por uma linha poligonal inscrita na curva paramétrica. O comprimento desta linha é dado por

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left( f(\tau _{k})-f(\tau _{k-1})\right) ^{2}+\left( g(\tau _{k})-g(\tau _{k-1})\right) ^{2}}.

Se existir L=\underset{n\rightarrow \infty }{\lim }L_{n} a curva é rectificável entre \left( f(t_{0}),g(t_{0})\right) e \left( f(t_{1}),g(t_{1})\right) ,  sendo este limite o seu comprimento. Se existirem as derivadas f^{\prime }(t) e g^{\prime }(t), e forem contínuas, em \left[ t_{0},t_{1}\right] , pelo teorema do valor médio (ou de Lagrange) haverá n^{2} números reais a_{k}\in \left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] e b_{k}\in\left[ \tau _{k-1},\tau _{k}\right] tais que

L_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\left[ f^{\prime }(a_{k})\right] ^{2}+\left[g^{\prime }(b_{k})\right] ^{2}}\left( \tau _{k}-\tau _{k-1}\right) .

No processo de passagem ao limite, este somatório transforma-se no integral

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ f^{\prime }(t)\right] ^{2}+\left[ g^{\prime }(t)\right] ^{2}}dt

que nos dá o comprimento do arco de curva entre t_{0} e t_{1}.

No caso particular de y=f(x) obtemos

L=\displaystyle\int_{x_{0}}^{x_{1}}\sqrt{1+\left( \dfrac{dy}{dx}\right) ^{2}}dx.

Repito agora o cálculo do perímetro da astróide apresentado nesta entrada

Exemplo: a hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróide  e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

Sabe-se que se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).

Resolução:

O perímetro L da curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

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L=4I=6.

Edição de 16.02.10: aperfeiçoado o texto.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Comprimento de um arco rectificável

  1. Muito obrigado pela visita. Irei ver a fórmula no livro do Spiegel, além disso, tem uma outra fórmula que eu deduzi envolvendo integrais. Não sendo somente eu que gosta de somatórios, irei publicar mais sobre este assunto.

    O Blogger aceita a digitação Tex também e é a que eu uso para escrever as fórmulas matemáticas, mas no lugar do $ $, tem que usar [; ;], e também tem que instalar o Greaseymonkey, um programa do Google. Se tiver maior interesse eu explico em detalhes como isso é feito.

    Quando eu fui criar o blog, pensei em criá-lo no WordPress, fiz até a inscrição, na época era muito inexperiente no assunto e vendo as intruções apenas em inglês, e leio somente inglês em livros matematicos, desisti da ideia.

    Abraços!

    • Caro Prof. Paulo Sérgio

      Obrigado pela sua informação. Poderei vir a criar um blogue que seja fundamentalmente uma espécie de resumo deste, com muito menos símbolos e fórmulas, mas, ainda assim, algumas.

      Só que sou um bocado avesso a instalar programas, por poder haver sempre a possibilidade de algo falhar, além da curva de aprendizagem não permitir, desde o início, ter o mesmo desembaraço que já adquiri aqui, pelo menos, em questões básicas, excepto numa que não tem a ver com isto: gerar figuras geométricas.

      Abraços para si também!

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