Livro Proofs from THE BOOK de Martin Aigner & Günter Ziegler

Comprei a 4.ª edição inglesa do livro de Martin Aigner e Günter Ziegler Proofs from THE BOOK, inicialmente publicado em 1998 e que já vai em 13 traduções. A edição alemã tem o título Das BUCH der Beweise, a francesa, Raisonnements divins, a portuguesa, As provas estão n’O Livro, da Editora Edgard Blücher, São Paulo 2002.

No prefácio os autores explicam o sentido da palavra “Livro”,  do título:  Paul  Erdős falava do Livro, no qual Deus preservaria as  provas perfeitas (elegantes) de teoremas matemáticos.

Os capítulos compreendem demonstrações da  Teoria dos Números, Geometria, Análise, Combinatória e Teoria dos Grafos.

Esta edição do  livro — destinado a alunos do início da licenciatura — é apresentada pela editora Springer desta maneira:

This revised and enlarged fourth edition of “Proofs from THE BOOK” features five new chapters, which  treat classical results such as the “Fundamental Theorem of Algebra”, problems about tilings,  but also quite recent proofs, for example of the Kneser conjecture in graph theory. The new edition also presents further improvements and surprises, among them a new proof for “Hilbert’s Third Problem”.  

Quanto a recenções, a mais completa é a de Daniel H. Ullman, em NOTICES OF THE AMS, AUGUST 1999, pp. 789-791

Inside Proofs From The Book is indeed a glimpse of mathematical heaven, where clever insights and beautiful ideas combine in astonishing and glorious ways. There is vast wealth within its pages, one gem after another. Some of the proofs are classics, but many are new and brilliant proofs of classical results. Still others are recent results.

O capítulo 8 — Three times \pi^2/6 — é dedicado ao resultado clássico de Euler

\displaystyle\sum_{n\ge 1}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6},

do qual apresenta três demonstrações: a de um exercício do livro Number Theory de William LeVeque,  a de Beukers, Calabi e Kolk, e a de uma série de exercícios de um livro de problemas de Akiva Yaglom e Isaak Yaglom.

O Apêndice deste mesmo capítulo aborda brevemente a função zeta de Riemann. Sobre a irracionalidade dos seus valores, nos inteiros positivos, os autores escrevem (os links foram acrescentados por mim):

It has been known for a long time that \zeta (s) is a rational of \pi^s, and hence irrational, if s is an even integer s\ge 2 (…). In contrast, the irrationality of \zeta (3) was proved by Roger Apéry only in 1979. Despite considerable effort the picture is rather incomplete about \zeta (s) for the other odd integers, s=2t+1\ge 5. Very recently, Keith Ball and Tanguy Rivoal  proved that infinitely many of the values \zeta (2t+1) are irrational.  (…) Wadim Zudilin  has proved that at least one of the four values \zeta (5),\zeta (7),\zeta (9) and \zeta (11) is irrational. (…) 

  

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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