Polígonos regulares com n lados inscritos e circunscritos num círculo: relação de perímetros

Problema: dois polígonos regulares semelhantes com n lados, um circunscrito e o outro inscrito num círculo de raio r, têm perímetros iguais a, respectivamente, P e p

  1. Determine p em função de P,n e r.
  2. Prove que, quando n tende para infinito, p/P\rightarrow 1.

Sugestão: observe as figuras seguintes: o desenho animado, em

  http://geometrias.eu/deposito/polinscircuns.html 

(Criado com GeoGebra por Arsélio Martins e aqui incluído em 2.03.10)

 ou estes

 

Construção auxiliar

Construção auxiliar

[ou ainda estes polígonos inscritos e circunscritos enviados — bem como a figura anterior —  por António Ferrão, em  23.03.10,  a quem agradeço:]

 

Adenda: inspirado nas páginas 160-161, da 3.ª edição do livro francês, de F. G.-M., 1917 (com 735 páginas, Maison Alfred Mame et Fils, Tours e J. de Gigord, Paris), Cours de Géometrie Élémentaire.

Discalculia — o que é isso?

Discalculia está para os números como a dislexia para as palavras. O último especial da Sience et Vie trata desenvolvidamente desta desordem, que se pode manifestar de formas diferentes: a visio-espacial, logico-matemática, procedimental, cálculo aritmético, leitura e escrita dos números. Há duas teoria para a explicar. O que é que está afectado? É o  sentido do número ou a capacidade de  abstracção? As investigações estão apenas no seu início. A própria dislexia ainda é debatida, quanto às suas causas, que continuam a ser desconhecidas.

 

Alguns dos fractais mostrados no Fraktale Welten gerados por fórmulas de iteração que sugeri ao autor

Partindo da fórmula de iteração conhecidíssima que cria o conjunto de Mandelbrot

z_{n+1}=z_n^2+c,

[ em que c=z_0=x_0+iy_0=\text{Re}(c)+i\text{Im}(c) é uma constante complexa, correspondente ao início da trajectória de iteração assim gerada no plano complexo ], em Doppelpot , do blogue alemão  Fraktale Welten, de Nachtwaechter, explica-se que, quando, numa fórmula de iteração ou de recorrência, se utilizam duas potências complexas diferentes, os fractais obtidos podem ser especialmente belos; e, ao ler, na continuação: 

»So sinnlos eine derartige Formel mathematisch ist, so hübsch sind die damit erzeugten Bilder, insbesondere die Bilder der Julia-Mengen«

«Uma fórmula desse tipo é tão desprovida de sentido matemático quanto  belas são as imagens que produz, especialmente as dos conjuntos Julia»,  

lembrei-me de sugerir ao autor que experimentasse usar as seguintes fórmulas de iteração:

  1. z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c
  2. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}c}
  3. z_{n+1}=z_{n}^{z_{n}+c}
  4. z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}
  5. z_{n+1}=z_{n}^{c}, etc.

No seu artigo Fünf Formeln (cinco fórmulas) explica e mostra os fractais assim gerados: o básico (Grundform), um pormenor (Detail), e o conjunto do tipo Julia (Julia-artige Menge).

primeira destas fórmulas  ,  que é semelhte à de Mandelbrot, gera, talvez por isso,  um fractal parecido ao de Mandelbrot.  Mostro-os de seguida, pela ordem em que aparecem no artigo, e que são, respectivamente: o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia.

z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c   

(A)

(B) 

(C)

Os fractais da fórmula de recorrência 4 são estes, respectivamente,  o global, um pormenor e o do conjunto do tipo Julia:

z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(D)

(E)

(F)

 

No artigo referenciado representam-se os restantes, bem com explicações e opiniões do autor, e ainda os códigos usados em Ultra Fractal 5 para  gerar os fractais. 

Agora uma sondagem:

(A) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{2}+z_{n}+c

(B) pormenor de (A)

(C) conjunto tipo Julia de (A)

(D) vista global do fractal gerado por z_{n+2}=z_{n+1}^{3}+c^{z_{n}}

(E) pormenor de (D)

(F)  conjunto tipo Julia de (D)

Edição de 25.02.10: incluída sondagem e aperfeiçoado o texto.

Problema do mês :: Problem of the month #3. (Polinómio real :: Real polynomial). Resolução :: Solution

ver/see Problema do mês Problem of the month

Nota: As resoluções seleccionadas não são necessariamente as de maior qualidade matemática.

Remark: Selected solutions are not necessarily the ones that have the best mathematical quality.

Problema: Seja P(x) um polinómio real de grau n\geq 2. Suponha que o coeficiente do termo de maior grau de P é igual a 1. Prove que \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, em que w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} são as raízes de P^{\prime }(x).

 

Solución de M ( aqui, [Gaussianos], copia):

Si

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

entonces

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Derivando (cuidando bien el signo entre las raíces):

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

Tu caso se particulariza con \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Otras soluciones: Dani (aquí [Gaussianos], copia) y MathOMan (aquí).

* * *

 

Resolução de M ( aqui, [Gaussianos], cópia); tradução de Américo Tavares

Se

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

então

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Derivando (tendo especial cuidado com o sinal entre as raízes):

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

A solução é o caso particular \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Outras resoluções: Dani (aqui [Gaussianos], cópia) y MathOMan (aquí).

* * *

Problem: Let P(x) be a real polynomial of degree n\geq 2. Assume that the leading coefficient of P is equal to 1. Prove that \dfrac{P^{\prime \prime }(x)}{P^{\prime }(x)}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{x-w_{k}}, where w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n-1} are the roots of P^{\prime }(x).

Solution by M ( here, [Gaussianos], copy); translated by Américo Tavares.

If

p(x)=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\left( x-a_{i}\right) ,

then

\log\left\vert p(x)\right\vert =\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\log \left\vert x-a_{i}\right\vert (para x\neq a_{i}).

Now, after diferentiating ( taking special care to the sign between roots), we get:

\dfrac{p^{\prime }(x)}{p(x)}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x-a_{i}}.

The solution for this problem is the particular case \left\{ p^{\prime },p^{\prime \prime }\right\} .

Other solvers: Dani ( here [Gaussianos], copy), and MathOMan (here).