Sobre Roger Apéry pode ver em inglês ou francês a biografia escrita por François Apéry, The Mathematical Intelligencer, vol. 18, n° 2, 1996, pp. 54-61.
Adenda de 22.01.10: Foi no livro de Ian Stewart, Os Problemas da Matemática, (Gradiva, 2.ª edição, 1996), que tomei conhecimento da existência da demonstração de , no qual se lê:
« A função
é agora conhecida como a função zeta de Riemann. Depois de inúmeras dificuldades, Euler conseguiu somar a série para certos valores de
. Em 1734 descobriu que
. Mais tarde provou que, para todo o
par,
é um múltiplo racional de
. Podemos deduzir daqui que
é irracional (de facto, transcendente) para todo o
par. Até muito recentemente, ninguém podia dizer nada deste teor para
ímpar. Devem imaginar a reacção quando, nas Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy, em Junho de 1978, R. Apéry, da Universidade de Caen, foi anunciado para falar ‘Sobre a irracionalidade de
‘ . Alf van der Poorten, que estava lá, descreve a conferência nestes termos: ‘O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incredulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir apenas uma sequência de asserções pouco prováveis’ »
Estudei o artigo (*) de Alfred van der Poorten (actualmente Professor jubilado de Matemática) A proof that Euler Missed… Apery’s Proof of the Irrationality of , The Mathematical Intelligencer, Nº 1 (1979) pp. 195-203 (pdf), para o que necessitei de fazer alguns cálculos, dos quais apresento os do parágrafo 3.
— Nota 1: uma soma telescópica de fracções racionais reais —
Demonstração da identidade
Fazendo
e
vem
donde
Por este motivo,
mas, como
comparando com (3), assim se completa a demonstração de (1).
— Nota 2: um caso discreto particular da soma telescópica de fracções racionais —
Dedução de
Para
e
na identidade (1), vem, do lado esquerdo:
e, do lado direito:
como se queria deduzir, para . Para demonstrar
falta, portanto, deduzir
ou seja, simplificando
Para o denominador do membro esquerdo vem, sucessivamente:
Em resumo:
e
e, portanto
donde, se obtem a identidade atrás, que se repete:
— Nota 3: uma soma binomial —
Dedução de
,
em que
.
Partindo desta definição temos
e, sucessivamente
mas como
resulta
donde
somando ambos os membros, vem
ou
e, finalmente
como se pretendia deduzir.
— Nota 4: transformação noutra soma binomial equivalente —
Dedução de
Usando a notação de Iverson, o lado esquerdo pode escrever-se
Esta notação significa neste caso
Agora já podemos trocar a ordem dos dois somatórios
O somatório do lado direito, no qual se utiliza a notação de Iverson, atendendo a que significa
, escreve-se na notação habitual
Provou-se que
Mas como
conclui-se que
— Nota 5: somas parciais de —
Dedução de
Atendendo à definição de
obtém-se
Mas
logo
Agrupando agora os dois somatórios da mesma quantidade que figuram nos dois membros desta identidade, obtemos
isto é
— Nota 6: série equivalente a —
Dedução de
Vai-se mostrar que
Em virtude de no intervalo se ter
e
,
então
;
donde resulta que
e, portanto,
,
quando
Se a soma dos termos em valores absolutos converge para então também o faz a própria soma. Fazendo agora em
tender para
obtém-se, como pretendíamos
A este respeito R. Apéry escreveu em Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13:
« Pour étudier
, nous posons:
L’ utilisation de la diagonale
donne la série
qui à defaut de prouver immédiatement l’ irrationalité de
converge mieux que
. »
(*) A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) (An informal report), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195–203
Edição de 16.02.10: acrescentados títulos às notas
Notei que, na Nota 6, a Eq.(22) possui um erro no somatorio. Ele deve ir ateh infinito (e nao ateh “N”). O mesmo vale para a sua ultima equacao.
Gostei muito desta pagina, pois fornece detalhes que nao constam no artigo do van der Poorten. Meus alunos estao estudando esse artigo e vou recomendar que leiam sua pagina.
Prof. Fabio M. S. Lima
Universidade de Brasilia (BRAZIL)
Obrigado Professor pela recomendação. Vou corrigir o “N” nos somatórios.
PS. Uma demonstração diferente da nota 6 foi apresentada por did em resposta à questão Apery’s proof of the irrationality of ζ(3), de syxiao, no MSE.
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