Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Publicado em 21 de Janeiro de 2010 por Américo Tavares

Sobre Roger Apéry pode ver em inglês ou francês a biografia escrita por François Apéry, The Mathematical Intelligencer, vol. 18, n° 2, 1996, pp. 54-61.

Adenda de 22.01.10: Foi no livro de Ian Stewart, Os Problemas da Matemática, (Gradiva, 2.ª edição, 1996), que tomei conhecimento da existência da demonstração de \zeta \left( 3\right), no qual se lê:

« A função \zeta \left( x\right)  é agora conhecida como a função zeta de Riemann. Depois de inúmeras dificuldades, Euler conseguiu somar a série para certos valores de x. Em 1734 descobriu que \zeta \left( 2\right) =\pi ^{2}/6. Mais tarde provou que, para todo o n par, \zeta \left( n\right) é  um múltiplo racional de \pi ^{n}. Podemos deduzir daqui que \zeta \left( n\right) é irracional (de facto, transcendente) para todo o n par. Até muito recentemente, ninguém podia dizer nada deste teor para n ímpar. Devem imaginar a reacção quando, nas Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy, em Junho de 1978, R. Apéry, da Universidade de Caen, foi anunciado para falar ‘Sobre a irracionalidade de \zeta \left( 3\right) ‘ . Alf van der Poorten, que estava lá, descreve a conferência nestes termos: ‘O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incredulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir apenas uma sequência de asserções pouco prováveis’  »

Estudei o artigo (*) de Alfred van der Poorten  (actualmente Professor jubilado de Matemática) A proof that Euler Missed… Apery’s Proof of the Irrationality of \zeta (3), The Mathematical Intelligencer, Nº 1 (1979) pp. 195-203 (pdf), para o que necessitei de fazer alguns cálculos, dos quais apresento os do parágrafo 3.

— Nota 1: uma soma telescópica de fracções racionais reais —

Demonstração da identidade

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}.\;(1)

Fazendo

A_{0}=\dfrac{1}{x}

e

A_{K}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})},

vem

A_{k-1}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-2}a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-2})(x+a_{k-1})},

donde

A_{k-1}-A_{k}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})} -\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}

=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}\dfrac{(x+a_{k})}{(x+a_{k})}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}

=\dfrac{\left( a_{1}a_{2}...a_{k-1}\right) x+(a_{1}a_{2}...a_{k-1})a_{k}-a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}

=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}\qquad (2)

Por este motivo,

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}\qquad (3)

mas, como

\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k} =A_{0}-A_{1}+A_{1}-A_{2}+...+A_{K-2}-A_{K-1}+A_{K-1}-A_{K}

=A_{0}+\left( -A_{1}+A_{1}\right) +\left( -A_{2}+A_{2}\right) +... +\left( -A_{K-2}+A_{K-2}\right) +\left( -A_{K-1}+A_{K-1}\right) -A_{K}

=A_{0}+0+0+...+0+0-A_{K}

=A_{0}-A_{K}

=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (4)

comparando com (3), assim se completa a demonstração de (1).

— Nota 2: um caso discreto particular da soma telescópica de fracções racionais  —

Dedução de

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }.\quad (5)

Para

x=n^{2}\qquad (6)

e

a_{k}=-k^{2}\qquad (7)

na identidade (1), vem, do lado esquerdo:

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}\right) _{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left[ -\left( k-1\right) ^{2}\right] }{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\overset{k-1\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...\left( k-1\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left[ 1\cdot 2\cdot ...\cdot\left( k-1\right) \right] ^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}

=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}\qquad (8)

e, do lado direito:

\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\right) _{_{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left( -K\right) ^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\overset{K\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...K^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}(1\cdot 2\cdot ...\cdot K)^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}

=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}K!^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}\qquad (9)

como se queria deduzir, para K=n-1. Para demonstrar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\qquad (10)

falta, portanto, deduzir

\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};

ou seja, simplificando

\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}.\qquad (11)

Para o denominador do membro esquerdo vem, sucessivamente:

\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right]

=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)...(n-n+1)(n+n-1)

=\left[ (n-1)(n-2)...2\cdot 1\right] \left[ (n+1)(n+2)...(2n-1)\right]

=\left( n-1\right) !\dfrac{1}{n!}\left[ n!(n+1)(n+2)...(2n-1)\right]

=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n!}=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}

=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}\dfrac{2n}{2n}=\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.

Em resumo:

\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] =\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.

e

\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}}=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{\left( 2n\right) !}

=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2\left[ n\left( n-1\right) !\right] ^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}

=\dfrac{2n!^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}

e, portanto

\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};

donde, se obtem a identidade atrás, que se repete:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}

— Nota 3:  uma soma binomial —

Dedução de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (12),

em que

\varepsilon _{n,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}},.

Partindo desta definição temos

\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}},

e, sucessivamente

\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}-\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-k\right) !}{\left( n+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-1\right) \left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) \left( n-1+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]

=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\left( \dfrac{n-k}{n+k}-1\right)

=-\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2k}{n+k}

=-\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2}{n+k}

=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !};\qquad (13)

mas como

n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) =n\left( n-1\right) \left( n+1\right) ...\left( n-k\right) \left( n+k\right)

=n\left[ \left( n-1\right) ...\left( n-k\right) \right] \left[ \left( n+1\right) ...\left( n+k\right) \right]

=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{\left( n-1-k\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{n!}

=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !}

=\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !},\qquad (14)

resulta

\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !}

=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=-2\left[ \dfrac{k\left( k-1\right) !}{k}\right] ^{2}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=-2\dfrac{\left( k-1\right) !^{2}}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) },\qquad (15)

donde

\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( -1\right) \left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) };\qquad (16)

somando ambos os membros, vem

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }

=2\left( \dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (17)

ou

\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ;

e, finalmente

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

como se pretendia deduzir.

— Nota 4: transformação noutra soma binomial equivalente —

Dedução de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) \qquad (18)

Usando a notação de Iverson, o lado esquerdo pode escrever-se

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)

=\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert

Esta notação significa neste caso

\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\left\{\begin{array}{ccccc}1 & & \text{se} & & k\leq n-1 \\ 0 & & \text{se} & & k>n-1\end{array}\right.

Agora já podemos trocar a ordem dos dois somatórios

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert\left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert

O somatório do lado direito, no qual se utiliza a notação de Iverson, atendendo a que k\leq n-1 significa n\geq k+1, escreve-se na notação habitual

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)

Provou-se que

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \qquad (19)

Mas como

\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right)

conclui-se que

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) .\qquad (20)

— Nota 5: somas parciais de \zeta (3) —

Dedução de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (21)

Atendendo à definição de \varepsilon _{n,k}

\varepsilon _{n,k}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}}

obtém-se

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

Mas

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

logo

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)

Agrupando agora os dois somatórios da mesma quantidade que figuram nos dois membros desta identidade, obtemos

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+(1+4)\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}

isto é

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}

— Nota 6: série equivalente a \zeta (3)  —

Dedução de

\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (22)

Vai-se mostrar que

\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=0

Em virtude de no intervalo 1\leq k\leq N se ter

k^{3}\dbinom{N}{k}\geq N

e

\dbinom{N+k}{k}\geq \dbinom{N+1}{1}=N+1,

então

k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}\geq N\left( N+1\right) ;

donde resulta que

\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{1}{2N\left( N+1\right) }

e, portanto,

\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{N}{2N\left( N+1\right) }=\dfrac{1}{2\left( N+1\right) }\rightarrow 0\ \ ,

 quando N\rightarrow \infty .

Se a soma dos termos em valores absolutos converge para 0, então também o faz a própria soma. Fazendo agora em

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}

N tender para \infty , obtém-se, como pretendíamos

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}.

A este respeito R. Apéry escreveu em  Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13:

« Pour étudier \zeta 3, nous posons:

\dfrac{1}{n^{3}}\equiv \dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) }-\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) \left( n^{2}-4\right) }+\cdots +\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( k!\right) ^{2}}{n\left( n^{2}-1\right) \cdots \left( n^{2}-\left( k-1\right) ^{2}\right) }+\cdots

L’ utilisation de la diagonale u_{n,n} donne la série

\zeta 3=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}

qui à  defaut de prouver immédiatement l’ irrationalité de \zeta3 converge mieux que \displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{3}}. »

(*) A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) (An informal report), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195–203

Edição de 16.02.10: acrescentados títulos às notas

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

  1. Fabio Menezes de S Lima diz:
    8 de Junho de 2012 às 12:23

    Notei que, na Nota 6, a Eq.(22) possui um erro no somatorio. Ele deve ir ateh infinito (e nao ateh “N”). O mesmo vale para a sua ultima equacao.

    Gostei muito desta pagina, pois fornece detalhes que nao constam no artigo do van der Poorten. Meus alunos estao estudando esse artigo e vou recomendar que leiam sua pagina.

    Prof. Fabio M. S. Lima
    Universidade de Brasilia (BRAZIL)

    Responder

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