Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Sobre Roger Apéry pode ver em inglês ou francês a biografia escrita por François Apéry, The Mathematical Intelligencer, vol. 18, n° 2, 1996, pp. 54-61.

Adenda de 22.01.10: Foi no livro de Ian Stewart, Os Problemas da Matemática, (Gradiva, 2.ª edição, 1996), que tomei conhecimento da existência da demonstração de $\zeta \left( 3\right)$ , no qual se lê:

« A função $\zeta \left( x\right)$ é agora conhecida como a função zeta de Riemann. Depois de inúmeras dificuldades, Euler conseguiu somar a série para certos valores de $x$ . Em 1734 descobriu que $\zeta \left( 2\right) =\pi ^{2}/6$ . Mais tarde provou que, para todo o $n$ par, $\zeta \left( n\right)$ é um múltiplo racional de $\pi ^{n}$ . Podemos deduzir daqui que $\zeta \left( n\right)$ é irracional (de facto, transcendente) para todo o $n$ par. Até muito recentemente, ninguém podia dizer nada deste teor para $n$ ímpar. Devem imaginar a reacção quando, nas Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy, em Junho de 1978, R. Apéry, da Universidade de Caen, foi anunciado para falar ‘Sobre a irracionalidade de $\zeta \left( 3\right)$ ‘ . Alf van der Poorten, que estava lá, descreve a conferência nestes termos: ‘O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incredulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir apenas uma sequência de asserções pouco prováveis’ »

Estudei o artigo (*) de Alfred van der Poorten (actualmente Professor jubilado de Matemática) A proof that Euler Missed… Apery’s Proof of the Irrationality of $\zeta (3)$ , The Mathematical Intelligencer, Nº 1 (1979) pp. 195-203 (pdf), para o que necessitei de fazer alguns cálculos, dos quais apresento os do parágrafo 3.

— Nota 1: uma soma telescópica de fracções racionais reais —

Demonstração da identidade

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}.\;(1)$

Fazendo

$A_{0}=\dfrac{1}{x}$

$A_{K}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})},$

vem

$A_{k-1}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-2}a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-2})(x+a_{k-1})},$

donde

$A_{k-1}-A_{k}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}$ $-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}$

$=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}\dfrac{(x+a_{k})}{(x+a_{k})}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}$

$=\dfrac{\left( a_{1}a_{2}...a_{k-1}\right) x+(a_{1}a_{2}...a_{k-1})a_{k}-a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}$

$=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}\qquad (2)$

Por este motivo,

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}\qquad (3)$

mas, como

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}$ $=A_{0}-A_{1}+A_{1}-A_{2}+...+A_{K-2}-A_{K-1}+A_{K-1}-A_{K}$

$=A_{0}+\left( -A_{1}+A_{1}\right) +\left( -A_{2}+A_{2}\right) +...$ $+\left( -A_{K-2}+A_{K-2}\right) +\left( -A_{K-1}+A_{K-1}\right) -A_{K}$

$=A_{0}+0+0+...+0+0-A_{K}$

$=A_{0}-A_{K}$

$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (4)$

comparando com (3), assim se completa a demonstração de (1).

— Nota 2: um caso discreto particular da soma telescópica de fracções racionais —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }.\quad (5)$

Para

$x=n^{2}\qquad (6)$

$a_{k}=-k^{2}\qquad (7)$

na identidade (1), vem, do lado esquerdo:

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}\right) _{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left[ -\left( k-1\right) ^{2}\right] }{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\overset{k-1\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...\left( k-1\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left[ 1\cdot 2\cdot ...\cdot\left( k-1\right) \right] ^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}\qquad (8)$

e, do lado direito:

$\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\right) _{_{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left( -K\right) ^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\overset{K\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...K^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}(1\cdot 2\cdot ...\cdot K)^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}K!^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}\qquad (9)$

como se queria deduzir, para $K=n-1$ . Para demonstrar

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\qquad (10)$

falta, portanto, deduzir

$\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};$

ou seja, simplificando

$\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}.\qquad (11)$

Para o denominador do membro esquerdo vem, sucessivamente:

$\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right]$

$=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)...(n-n+1)(n+n-1)$

$=\left[ (n-1)(n-2)...2\cdot 1\right] \left[ (n+1)(n+2)...(2n-1)\right]$

$=\left( n-1\right) !\dfrac{1}{n!}\left[ n!(n+1)(n+2)...(2n-1)\right]$

$=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n!}=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}$

$=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}\dfrac{2n}{2n}=\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.$

Em resumo:

$\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] =\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.$

$\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}}=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{\left( 2n\right) !}$

$=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2\left[ n\left( n-1\right) !\right] ^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}$

$=\dfrac{2n!^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}$

e, portanto

$\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};$

donde, se obtem a identidade atrás, que se repete:

— Nota 3: uma soma binomial —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (12)$ ,

em que

$\varepsilon _{n,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}},$ .

Partindo desta definição temos

$\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}},$

e, sucessivamente

$\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}-\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-k\right) !}{\left( n+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-1\right) \left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) \left( n-1+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\left( \dfrac{n-k}{n+k}-1\right)$

$=-\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2k}{n+k}$

$=-\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2}{n+k}$

$=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !};\qquad (13)$

mas como

$n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) =n\left( n-1\right) \left( n+1\right) ...\left( n-k\right) \left( n+k\right)$

$=n\left[ \left( n-1\right) ...\left( n-k\right) \right] \left[ \left( n+1\right) ...\left( n+k\right) \right]$

$=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{\left( n-1-k\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{n!}$

$=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !}$

$=\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !},\qquad (14)$

resulta

$\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !}$

$=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=-2\left[ \dfrac{k\left( k-1\right) !}{k}\right] ^{2}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=-2\dfrac{\left( k-1\right) !^{2}}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) },\qquad (15)$

donde

$\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( -1\right) \left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) };\qquad (16)$

somando ambos os membros, vem

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\left( \dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (17)$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ;$

e, finalmente

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

como se pretendia deduzir.

— Nota 4: transformação noutra soma binomial equivalente —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) \qquad (18)$

Usando a notação de Iverson, o lado esquerdo pode escrever-se

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)$

$=\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$

Esta notação significa neste caso

$\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\left\{\begin{array}{ccccc}1 & & \text{se} & & k\leq n-1 \\ 0 & & \text{se} & & k>n-1\end{array}\right.$

Agora já podemos trocar a ordem dos dois somatórios

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert\left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$

O somatório do lado direito, no qual se utiliza a notação de Iverson, atendendo a que $k\leq n-1$ significa $n\geq k+1$ , escreve-se na notação habitual

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)$

Provou-se que

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \qquad (19)$

Mas como

$\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right)$ $=\left( -1\right) ^{k}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right)$

conclui-se que

— Nota 5: somas parciais de $\zeta (3)$ —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (21)$

Atendendo à definição de $\varepsilon _{n,k}$

$\varepsilon _{n,k}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}}$

obtém-se

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$

Mas

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

logo

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

Agrupando agora os dois somatórios da mesma quantidade que figuram nos dois membros desta identidade, obtemos

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+(1+4)\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}$

isto é

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}$

— Nota 6: série equivalente a $\zeta (3)$ —

Dedução de

$\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (22)$

Vai-se mostrar que

$\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=0$

Em virtude de no intervalo $1\leq k\leq N$ se ter

$k^{3}\dbinom{N}{k}\geq N$

$\dbinom{N+k}{k}\geq \dbinom{N+1}{1}=N+1$ ,

então

$k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}\geq N\left( N+1\right)$ ;

donde resulta que

$\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{1}{2N\left( N+1\right) }$

e, portanto,

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{N}{2N\left( N+1\right) }=\dfrac{1}{2\left( N+1\right) }\rightarrow 0\ \$ ,

quando $N\rightarrow \infty .$

Se a soma dos termos em valores absolutos converge para $0,$ então também o faz a própria soma. Fazendo agora em

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}$

$N$ tender para $\infty ,$ obtém-se, como pretendíamos

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}.$

A este respeito R. Apéry escreveu em Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13:

« Pour étudier $\zeta 3$ , nous posons:

$\dfrac{1}{n^{3}}\equiv \dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) }-\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) \left( n^{2}-4\right) }+\cdots$ $+\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( k!\right) ^{2}}{n\left( n^{2}-1\right) \cdots \left( n^{2}-\left( k-1\right) ^{2}\right) }+\cdots$

L’ utilisation de la diagonale $u_{n,n}$ donne la série

$\zeta 3=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}$

qui à defaut de prouver immédiatement l’ irrationalité de $\zeta3$ converge mieux que $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{3}}$ . »

(*) A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) (An informal report), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195–203

Edição de 16.02.10: acrescentados títulos às notas

Anúncios

5 respostas a Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Fabio Menezes de S Lima diz:

8 de Junho de 2012 às 12:23

Notei que, na Nota 6, a Eq.(22) possui um erro no somatorio. Ele deve ir ateh infinito (e nao ateh “N”). O mesmo vale para a sua ultima equacao.

Gostei muito desta pagina, pois fornece detalhes que nao constam no artigo do van der Poorten. Meus alunos estao estudando esse artigo e vou recomendar que leiam sua pagina.

Prof. Fabio M. S. Lima
Universidade de Brasilia (BRAZIL)

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  8 de Junho de 2012 às 16:49
  
  Obrigado Professor pela recomendação. Vou corrigir o “N” nos somatórios.
  
  PS. Uma demonstração diferente da nota 6 foi apresentada por did em resposta à questão Apery’s proof of the irrationality of ζ(3), de syxiao, no MSE.
Américo Tavares diz:

18 de Janeiro de 2015 às 23:32

Reblogged this on Problemas e Teoremas.

Responder
Pingback: O infinito e a transcendência | perspectivas
Pingback: O infinito e a transcendência | Bordoadas

Deixe uma Resposta Cancelar resposta

Insira aqui o seu comentário...

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

E-mail (obrigatório) (O endereço nunca será tornado público)

Nome (obrigatório)

Site da Web

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Twitter ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Facebook ( Terminar Sessão / Alterar )

Está a comentar usando a sua conta Google+ ( Terminar Sessão / Alterar )

Cancelar

Connecting to %s

	joao em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 4.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 4.º gr…
	Américo Tavares em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 3.º gr…
	joao paulo em Resolução da equação do 3.º gr…
	Kleberson John em Soma dos quadrados dos primeir…