Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Sobre Roger Apéry pode ver em inglês ou francês a biografia escrita por François Apéry, The Mathematical Intelligencer, vol. 18, n° 2, 1996, pp. 54-61.

Adenda de 22.01.10: Foi no livro de Ian Stewart, Os Problemas da Matemática, (Gradiva, 2.ª edição, 1996), que tomei conhecimento da existência da demonstração de $\zeta \left( 3\right)$ , no qual se lê:

« A função $\zeta \left( x\right)$ é agora conhecida como a função zeta de Riemann. Depois de inúmeras dificuldades, Euler conseguiu somar a série para certos valores de $x$ . Em 1734 descobriu que $\zeta \left( 2\right) =\pi ^{2}/6$ . Mais tarde provou que, para todo o $n$ par, $\zeta \left( n\right)$ é um múltiplo racional de $\pi ^{n}$ . Podemos deduzir daqui que $\zeta \left( n\right)$ é irracional (de facto, transcendente) para todo o $n$ par. Até muito recentemente, ninguém podia dizer nada deste teor para $n$ ímpar. Devem imaginar a reacção quando, nas Journées Arithmétiques de Marseille-Luminy, em Junho de 1978, R. Apéry, da Universidade de Caen, foi anunciado para falar ‘Sobre a irracionalidade de $\zeta \left( 3\right)$ ‘ . Alf van der Poorten, que estava lá, descreve a conferência nestes termos: ‘O cepticismo era geral. A palestra tendeu a fortalecer esta visão de completa incredulidade. Aqueles que a escutaram sem interesse, ou que estavam limitados por não serem francófonos, pareciam ouvir apenas uma sequência de asserções pouco prováveis’ »

Estudei o artigo (*) de Alfred van der Poorten (actualmente Professor jubilado de Matemática) A proof that Euler Missed… Apery’s Proof of the Irrationality of $\zeta (3)$ , The Mathematical Intelligencer, Nº 1 (1979) pp. 195-203 (pdf), para o que necessitei de fazer alguns cálculos, dos quais apresento os do parágrafo 3.

— Nota 1: uma soma telescópica de fracções racionais reais —

Demonstração da identidade

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}.\;(1)$

Fazendo

$A_{0}=\dfrac{1}{x}$

$A_{K}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})},$

vem

$A_{k-1}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-2}a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-2})(x+a_{k-1})},$

donde

$A_{k-1}-A_{k}=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}$ $-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}$

$=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})}\dfrac{(x+a_{k})}{(x+a_{k})}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}$

$=\dfrac{\left( a_{1}a_{2}...a_{k-1}\right) x+(a_{1}a_{2}...a_{k-1})a_{k}-a_{1}a_{2}...a_{k-1}a_{k}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}$

$=\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}\qquad (2)$

Por este motivo,

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k-1})(x+a_{k})}=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}\qquad (3)$

mas, como

$\displaystyle\sum_{k=1}^{K}A_{k-1}-A_{k}$ $=A_{0}-A_{1}+A_{1}-A_{2}+...+A_{K-2}-A_{K-1}+A_{K-1}-A_{K}$

$=A_{0}+\left( -A_{1}+A_{1}\right) +\left( -A_{2}+A_{2}\right) +...$ $+\left( -A_{K-2}+A_{K-2}\right) +\left( -A_{K-1}+A_{K-1}\right) -A_{K}$

$=A_{0}+0+0+...+0+0-A_{K}$

$=A_{0}-A_{K}$

$=\dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\qquad (4)$

comparando com (3), assim se completa a demonstração de (1).

— Nota 2: um caso discreto particular da soma telescópica de fracções racionais —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }.\quad (5)$

Para

$x=n^{2}\qquad (6)$

$a_{k}=-k^{2}\qquad (7)$

na identidade (1), vem, do lado esquerdo:

$\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{k-1}}{(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{k})}\right) _{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left[ -\left( k-1\right) ^{2}\right] }{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\overset{k-1\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...\left( k-1\right) ^{2}}{(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left[ 1\cdot 2\cdot ...\cdot\left( k-1\right) \right] ^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^{K}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{(n^{2}-1^{2})...(n^{2}-k^{2})}\qquad (8)$

e, do lado direito:

$\left( \dfrac{1}{x}-\dfrac{a_{1}a_{2}...a_{K}}{x(x+a_{1})(x+a_{2})...(x+a_{K})}\right) _{_{\substack{ x=n^{2} \\ a_{k}=-k^{2}}}}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1^{2}\right) \left( -2^{2}\right) ...\left( -K\right) ^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\overset{K\text{ factores}}{\overbrace{\left( -1\right) \left( -1\right) ...\left( -1\right) }}\;1^{2}2^{2}...K^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}(1\cdot 2\cdot ...\cdot K)^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}$

$=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{\left( -1\right) ^{k}K!^{2}}{n^{2}(n^{2}-1^{2})(n^{2}-2^{2})...(n^{2}-K^{2})}\qquad (9)$

como se queria deduzir, para $K=n-1$ . Para demonstrar

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }=\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\qquad (10)$

falta, portanto, deduzir

$\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};$

ou seja, simplificando

$\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}.\qquad (11)$

Para o denominador do membro esquerdo vem, sucessivamente:

$\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right]$

$=(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)...(n-n+1)(n+n-1)$

$=\left[ (n-1)(n-2)...2\cdot 1\right] \left[ (n+1)(n+2)...(2n-1)\right]$

$=\left( n-1\right) !\dfrac{1}{n!}\left[ n!(n+1)(n+2)...(2n-1)\right]$

$=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n!}=\dfrac{\left( n-1\right) !\left( 2n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}$

$=\dfrac{\left( 2n-1\right) !}{n}\dfrac{2n}{2n}=\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.$

Em resumo:

$\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] =\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}.$

$\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{\left( n-1\right) !^{2}}{\dfrac{\left( 2n\right) !}{2n^{2}}}=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{\left( 2n\right) !}$

$=\dfrac{2n^{2}\left( n-1\right) !^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2\left[ n\left( n-1\right) !\right] ^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}$

$=\dfrac{2n!^{2}}{n!^{2}\dbinom{2n}{n}}=\dfrac{2}{\dbinom{2n}{n}}$

e, portanto

$\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}\left( n-1\right) !^{2}}{n^{2}\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left[ n^{2}-\left( n-1\right) ^{2}\right] }=\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}};$

donde, se obtem a identidade atrás, que se repete:

— Nota 3: uma soma binomial —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (12)$ ,

em que

$\varepsilon _{n,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}},$ .

Partindo desta definição temos

$\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n-1}{k}\dbinom{n-1+k}{k}},$

e, sucessivamente

$\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=\dfrac{k!^{2}\left( n-k\right) !}{k^{3}\left( n+k\right) !}-\dfrac{k!^{2}\left( n-1-k\right) !}{k^{3}\left( n-1+k\right) !}$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-k\right) !}{\left( n+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\left[ \dfrac{\left( n-1\right) \left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) \left( n-1+k\right) !}-\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\right]$

$=\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\left( \dfrac{n-k}{n+k}-1\right)$

$=-\dfrac{k!^{2}}{k^{3}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2k}{n+k}$

$=-\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n-1+k\right) !}\dfrac{2}{n+k}$

$=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !};\qquad (13)$

mas como

$n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) =n\left( n-1\right) \left( n+1\right) ...\left( n-k\right) \left( n+k\right)$

$=n\left[ \left( n-1\right) ...\left( n-k\right) \right] \left[ \left( n+1\right) ...\left( n+k\right) \right]$

$=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{\left( n-1-k\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{n!}$

$=n\dfrac{\left( n-1\right) !}{n\left( n-1\right) !}\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !}$

$=\dfrac{\left( n+k\right) !}{\left( n-1-k\right) !},\qquad (14)$

resulta

$\varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{\left( n-1-k\right) !}{\left( n+k\right) !}$

$=-2\dfrac{k!^{2}}{k^{2}}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=-2\left[ \dfrac{k\left( k-1\right) !}{k}\right] ^{2}\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=-2\dfrac{\left( k-1\right) !^{2}}{n\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) },\qquad (15)$

donde

$\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( -1\right) \left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k+1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) };\qquad (16)$

somando ambos os membros, vem

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}n\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}\left( k-1\right) !^{2}}{\left( n^{2}-1^{2}\right) ...\left( n^{2}-k^{2}\right) }$

$=2\left( \dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{2}\dbinom{2n}{n}}\right) ,\qquad (17)$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right) =2\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right) ;$

e, finalmente

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

como se pretendia deduzir.

— Nota 4: transformação noutra soma binomial equivalente —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right) \qquad (18)$

Usando a notação de Iverson, o lado esquerdo pode escrever-se

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)$

$=\sum_{n=1}^{N}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$

Esta notação significa neste caso

$\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert =\left\{\begin{array}{ccccc}1 & & \text{se} & & k\leq n-1 \\ 0 & & \text{se} & & k>n-1\end{array}\right.$

Agora já podemos trocar a ordem dos dois somatórios

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert\left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$

O somatório do lado direito, no qual se utiliza a notação de Iverson, atendendo a que $k\leq n-1$ significa $n\geq k+1$ , escreve-se na notação habitual

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \;\left\vert \left\vert k\leq n-1\right\vert \right\vert$ $=\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right)$

Provou-se que

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\sum_{k=1}^{n-1}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) \qquad (19)$

Mas como

$\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{n,k}-\varepsilon_{n-1,k}\right)$ $=\left( -1\right) ^{k}\displaystyle\sum_{n=k+1}^{N}\left( \varepsilon_{n,k}-\varepsilon _{n-1,k}\right) =\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon_{N,k}-\varepsilon _{k,k}\right)$

conclui-se que

— Nota 5: somas parciais de $\zeta (3)$ —

Dedução de

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (21)$

Atendendo à definição de $\varepsilon _{n,k}$

$\varepsilon _{n,k}=\dfrac{1}{k^{3}\dbinom{n}{k}\dbinom{n+k}{k}}$

obtém-se

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}-\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}$

Mas

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left( -1\right) ^{k}\left( \varepsilon _{N,k}-\varepsilon_{k,k}\right) =2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

logo

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\left( \dfrac{1}{n^{3}}-\dfrac{2\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}\right)$

Agrupando agora os dois somatórios da mesma quantidade que figuram nos dois membros desta identidade, obtemos

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}+(1+4)\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}=2\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}$

isto é

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}$

— Nota 6: série equivalente a $\zeta (3)$ —

Dedução de

$\zeta \left( 3\right) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}\qquad (22)$

Vai-se mostrar que

$\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=0$

Em virtude de no intervalo $1\leq k\leq N$ se ter

$k^{3}\dbinom{N}{k}\geq N$

$\dbinom{N+k}{k}\geq \dbinom{N+1}{1}=N+1$ ,

então

$k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}\geq N\left( N+1\right)$ ;

donde resulta que

$\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{1}{2N\left( N+1\right) }$

e, portanto,

$\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\left\vert \dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}\right\vert \leq \dfrac{N}{2N\left( N+1\right) }=\dfrac{1}{2\left( N+1\right) }\rightarrow 0\ \$ ,

quando $N\rightarrow \infty .$

Se a soma dos termos em valores absolutos converge para $0,$ então também o faz a própria soma. Fazendo agora em

$\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}$

$N$ tender para $\infty ,$ obtém-se, como pretendíamos

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n^{3}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}.$

A este respeito R. Apéry escreveu em Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque 61 (1979), 11–13:

« Pour étudier $\zeta 3$ , nous posons:

$\dfrac{1}{n^{3}}\equiv \dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) }-\dfrac{1}{n\left( n^{2}-1\right) \left( n^{2}-4\right) }+\cdots$ $+\dfrac{\left( -1\right) ^{k}\left( k!\right) ^{2}}{n\left( n^{2}-1\right) \cdots \left( n^{2}-\left( k-1\right) ^{2}\right) }+\cdots$

L’ utilisation de la diagonale $u_{n,n}$ donne la série

$\zeta 3=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{n}\dfrac{\left( -1\right) ^{n-1}}{n^{3}\dbinom{2n}{n}}$

qui à defaut de prouver immédiatement l’ irrationalité de $\zeta3$ converge mieux que $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^{3}}$ . »

(*) A. van der Poorten, A proof that Euler missed… Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3) (An informal report), Math. Intelligencer 1:4 (1978/79), 195–203

Edição de 16.02.10: acrescentados títulos às notas

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5 respostas a Algumas notas de cálculo — estudo do artigo de Alfred van der Poorten sobre a irracionalidade de zeta de 3, ζ(3), segundo Roger Apéry

Fabio Menezes de S Lima diz:

8 de Junho de 2012 às 12:23

Notei que, na Nota 6, a Eq.(22) possui um erro no somatorio. Ele deve ir ateh infinito (e nao ateh “N”). O mesmo vale para a sua ultima equacao.

Gostei muito desta pagina, pois fornece detalhes que nao constam no artigo do van der Poorten. Meus alunos estao estudando esse artigo e vou recomendar que leiam sua pagina.

Prof. Fabio M. S. Lima
Universidade de Brasilia (BRAZIL)

Responder
- Américo Tavares diz:
  
  8 de Junho de 2012 às 16:49
  
  Obrigado Professor pela recomendação. Vou corrigir o “N” nos somatórios.
  
  PS. Uma demonstração diferente da nota 6 foi apresentada por did em resposta à questão Apery’s proof of the irrationality of ζ(3), de syxiao, no MSE.
Américo Tavares diz:

18 de Janeiro de 2015 às 23:32

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