Exemplo geométrico de determinação de um máximo por um método algébrico

Suponhamos que temos dois números reais positivos x e y, mas que só conhecemos a sua soma s=x+y. Quais hão-de ser esses números, de maneira que o seu produto p=xy seja o maior possível?

O leitor pode imaginar que x e y são os lados de um rectângulo, s é  o seu semi-perímetro e p, a área.

Exemplo geométrico: rectângulo(s) e quadrado

A 1.ª figura representa um rectângulo e um quadrado com o mesmo perímetro;

 a 2.ª, o gráfico de p=xy=x\left( s-x\right) =sx-x^{2} (com s=4)

Uma simples aplicação de derivadas permite-nos concluir que há-de ser quando x=y=s/2. De facto, p=xy=x\left( s-x\right) =sx-x^{2}, pelo que, sendo que a derivada p^{\prime }(x)=s-2x, se tem p^{\prime}(x)=0, quando x=s/2; donde y=s-x=s-s/2=s/2=x. Estes valores correspondem ao máximo de p, porque s-2x>0, para x<s/2 e s-2x<0, para x>s/2.

Logo, de todos os rectângulos que têm um dado perímetro, o quadrado é o que tem a área máxima.

Mas poderemos chegar à mesma conclusão através de um raciocínio meramente algébrico. A identidade

\left( \dfrac{x+y}{2}\right) ^{2}-xy=\left( \dfrac{x-y}{2}\right) ^{2}

permite ver que se x\neq y

\left( \dfrac{x+y}{2}\right) ^{2}-xy>0

pelo que o máximo de p=xy, sujeito à  restrição x+y=s, ocorre para x=y=\dfrac{s}{2}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Cálculo, Geometria, Identidade matemática, Matemática, Optimização com as etiquetas , . ligação permanente.

2 respostas a Exemplo geométrico de determinação de um máximo por um método algébrico

  1. Américo, você está de parabéns, o seu blog é de altíssima qualidade. Continue nessa missão de divulgar a rainha das Ciências.

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s