Uma bela prova por indução

Neste problema  do Gaussianos pede-se para calcular o valor de

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{16}{15}\cdot \dfrac{25}{24}\cdot\cdots

Num meu comentário escrevi

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{16}{15}\cdot \dfrac{25}{24}\cdot\cdots =\lim \dfrac{n}{n+1}=1

seguida posteriormente da afirmação, «uma “prova” (evidência) numérica:

\dfrac{2}{3}

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}=\dfrac{3}{4}

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{16}{15}=\dfrac{4}{5}

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{16}{15}\cdot \dfrac{25}{24}=\dfrac{5}{6}

\cdots

\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{9}{8}\cdot \dfrac{16}{15}\cdot \dfrac{25}{24}\cdot\cdots =\lim \dfrac{n}{n+1}. »

Osukaru, neste seu comentário, afirmou: «La idea de Américo es correcta. La sucesión de productos parciales es la siguiente:

P_{1}=\dfrac{2}{3}

P_{i}=P_{i-1}\dfrac{\left( i+1\right) ^{2}}{\left( i+1\right) ^{2}-1}

Ahora queremos demostrar que el término general podemos escribirlo de la forma:

P_{i}=\dfrac{i+1}{i+1}

Para ello usamos inducción. Ya lo ha demostrado Américo para los primeros términos, luego si lo suponemos cierto para el término n-ésimo menos uno, tenemos que demostrar que se cumple para el n-ésimo:

P_{n}=P_{n-1}\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}-1}

Sustituyendo P_{n-1} por su valor y desarrollando la expresión:

P_{n}=\dfrac{n}{n+1}\dfrac{\left( n+1\right) ^{2}}{\left( n+1\right) ^{2}-1}= (simplificando y desarrollando) =\dfrac{n+1}{n+2}

Luego queda demostrado que el término general podemos obtenerlo por la  nueva fórmula y llevando la sucesión al límite deducimos que el producto infinito del enunciado es igual a 1. »

Respondi-lhe: «Exacto, tinha pensado precisamente na indução. Obrigado!»

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Uma bela prova por indução

  1. Fábio diz:

    Gostei mas preciso de mais

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