Enunciado do teorema fundamental do Cálculo integral nos reais

Teorema: Seja f uma função definida e integrável em [a,b] e F uma sua primitiva, então

\displaystyle\int_{[a,b]}f(x)\;dx=F(b)-F(a).

Exemplo: Se a,b são reais, então

\displaystyle\int_{[a,b]}\cos x\;dx=\sin b-\sin a.

Exercício: Confirme que \displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=1

Primitivando por partes, determina-se uma primitiva de \log x, P(\log x)=x\log x-x+C (em que C é uma constante (de integração) qualquer, independente de x.  Notação: aqui, \log x é  o logaritmo natural ou neperiano de x. Assim, tem-se

\displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=e\log e-e+C-(\log 1-1+C)=

=e\log e-e-\log 1+1=e-e-0+1,

sendo, de facto

\displaystyle\int_{[1,e]}\log x\;dx=\displaystyle\int_1^e\log x\;dx=1.

Nota: É claro que estamos a admitir que o logaritmo natural foi previamente definido como a função inversa da exponencial, ou de qualquer outra forma, independente da igualdade anterior. 

 

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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