1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

Prove que/prove that

\zeta \left( 2\right) =\dfrac{p}{q}\displaystyle\int_{-1}^{\sqrt{3}}\arctan (x)\,d\left( \arctan (x)\right) ,

where/em que  (p,q)\in\mathbb{Z}^{2}.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a 1.º Problema de 2010: um integral de Stieltjes :: 2010 Problem #1 – A Stieltjes Integral

  1. Wouldn’t there be a problem if q = 0?

  2. Also, I am having a little difficulty in understanding the right hand side expression. Isn’t there supposed to be some summation sign? I mean, p/q should be summed over \mathbb{Z}^2, is that right (of course, not allowing q = 0)?

  3. Ah, I see now. Thanks for the clarification. But, I must say that the integral in its present form is somewhat easy to calculate.

    • Then you can move to the last one. That is an important intermediate result. One gets \zeta(3) expressed as another series that converges faster to \zeta(3) (see e.g. van der Poorten’s paper A proof Euler missed…, Apéry’s proof of the irrationality of \zeta(3), An informal report). You find it online. Go to the page Consulta de publicações.
      PS. I think that most of my readers doesn’t even know what a Stiltjes integral is.

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