Duas questões de exames sobre limites de sucessões, Análise Matemática, do Professor Jaime Campos Ferreira

O Professor Campos Ferreira foi o meu professor de Matemáticas Gerais do Técnico, no ano lectivo  1968/69. Nessa altura, dava-se nela Análise e Álgebra Linear.  No site da IST Press o livro em cima é apresentado desta forma:

 « Exercícios de Análise Matemática I e II reúne exercícios destas disciplinas fundamentais elaborados (e alguns resolvidos) por diversos professores do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico e tem origem numa colectânea de exercícios de exames do Prof. Jaime Campos Ferreira iniciada pelo Prof. Francisco Viegas. Por acordo entre os diversos autores entendeu-se atribuir a autoria deste texto ao Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico» 

Por ser o ano mais próximo de 1968/69, retirei da página 15  o seguinte enunciado, correspondente ao exercício 1.42,  de 1971, cuja resolução é apresentada, mas que aqui não reproduzo:

« Determine os limites das sucessões de termos gerais:

a) u_{n}=\left( \dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }\right) ^{n},\qquad\qquad\qquad b) u_{n}=\sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}},

onde a é  um número real. »

 Sugestão: sobre b) – consultar esta minha entrada.

Resoluções: ver comentário de ateixeira.

 * * *

Matemáticas Gerais IST, 1968/9

Matemáticas Gerais IST, 1968/9

Folhas de Matemáticas Gerais, gentilmente autografadas pelo autor, Prof. Campos Ferreira.

Um livro do mesmo autor, muito conhecido entre nós,  é o da Gulbenkian

FERREIRA, Jaime Campos, Introdução à Análise Matemática, 7ª ed., Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 1999.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Duas questões de exames sobre limites de sucessões, Análise Matemática, do Professor Jaime Campos Ferreira

  1. ateixeira diz:

    Já tenho a minha solução na web: http://physicsfromthebottomup.blogspot.com/2010/01/some-solved-exercises.html

    Não consigo é resolver o terceiro problema. Mas é mesmo por não querer pesquisar manipulações das funções trigonométricas envolvidas.

    Adenda de 7.01.09 A T

    a) First let us determine the modulus of \dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }

    \left\vert\dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }\right\vert =\dfrac{\left\vert a\right\vert }{\left\vert 1+\left\vert a\right\vert \right\vert}=\dfrac{\left\vert a\right\vert}{1+\left\vert a\right\vert} since 1+\left\vert a\right\vert >0

    Now \left\vert a\right\vert <1+\left\vert a\right\vert and so \dfrac{\left\vert a\right\vert }{\left\vert 1+\left\vert a\right\vert \right\vert }<1. Since the modulus of the expression is less than 1 we know that \lim \left( \dfrac{\left\vert a\right\vert }{1+\left\vert a\right\vert }\right) ^{n}=0.

    http://climbingthemountain.wordpress.com/2009/02/20/real-analysis-exercises-ii/#comment-85

    b)
    \lim \sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}}=\lim \exp \left[ \log \left( \sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}}\right) \right]

    =\lim \exp \left[ \dfrac{1}{n}\log \left( \dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}\right) \right]

    =\lim \exp \left[ \dfrac{1}{n}\left( \log \left( 3n\right) !-3\log n!\right) \right]

    =\exp \left[ \lim \dfrac{1}{n}\left( \log \left( 3n\right) !-3\log n!\right) \right]

    Now we’ll calculate \lim \dfrac{1}{n}\left( \log \left( 3n\right) !-3\log n!\right) using Stirling’s approximation and neglecting the O\left( \log n\right) terms since \lim O\left( \log n\right) /n=0

    \lim \dfrac{1}{n}\left( \log \left( 3n\right) !-3\log n!\right)

    =\lim \dfrac{1}{n}\left( 3n\log 3n-3n-3\left( n\log n-n\right) \right)

    =\lim \dfrac{1}{n}\left( 3n\log 3n-3n-3n\log n+3n\right)

    =\lim\dfrac{3\log 3}{n}

    =3\log 3

    Thus \lim \sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}}=\exp\left( 3\log 3\right) =3^{3}=27

    http://physicsfromthebottomup.blogspot.com/2010/01/some-solved-exercises.html

  2. António Feliciano Manuel diz:

    Adoro matemática por isso vou te adora.

  3. que forma tao facil desfazer este limite. valeu pela ajuda pessoal.

  4. angela monteiro diz:

    boa ajuda mesmo, valeu, bgda

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