Uma soma telescópica “disfarçada”; Problema da Universidade de Purdue

Para melhor divulgação do meu post anterior, explico como me veio à ideia a resolução que submeti e que foi aceite.

Pedia-se para provar que a soma de 119 números, quase ou mesmo todos irracionais era um inteiro. O termo geral estava como que disfarçado. Por intuição fiz a conta algébrica elementar, transformando-o na forma \sqrt{A-\sqrt{B}}. Depois recordei-me que tinha dado, há muitos anos, durante o liceu, um método que permitia calcular este tipo de expressões: num dos livros de Álgebra do 3.º ciclo do liceu, de que Sebastião e Silva é autor, está a dedução de uma identidade algébrica ligeiramente mais geral, que uma vez aplicada a este caso, chega à diferença de duas raízes quadradas, funções de n. Reparei que o valor da segunda tomava o da primeira, substituindo na primeira n por n-1, daí resultando que tinha que calcular uma soma telescópica do tipo \sum_{n=1}^{N}A_{n}-A_{n-1} , o que, aqui chegado, é extremamente simples: é simplesmente a diferença A_{N}-A_{0}. Como, quer o aditivo quer o subtractivo eram inteiros, a sua diferença era naturalmente inteira.

Aproveitei conhecimentos anteriores para chegar a uma solução, como é natural e recomendável. Não sei se haverá outros métodos radicalmente diferentes.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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