A Matemática é uma Ciência? :: Is Mathematics a Science?

A seguinte sondagem estará aberta até 31.01.2010. Actualização de 16.02.10: permanecerá aberta.

The following poll will close on January 31, 2010.  Update (Feb. 16, 2010): it will remain open.

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Veja um ensaio em  / see an essay here 

 http://andrewlias.blogspot.com/2004/08/is-mathematics-science.html

Is mathematics a science? Well, the answer depends on what one means bymathematics“, and what one means byscience“. There are well known and respected philosophers of science that will tell you the answer is ‘no’, while others are just as emphatic that the answer is ‘yes’.

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Maximum of the produt of k positive integers, the sum of which is 100. Problem by Vishal Lama and a solution by Neil Dickson

Problem by Vishal Lama. Maximize the value of the expression \displaystyle \prod_{j=1}^{k} x_j, for some positive integer k, where \displaystyle \sum_{j=1}^{k} x_j = 100 and x_js are all positive integers.

My (corrected) guess (Ansatz). The solution to your problem seems to be satisfied by k=33+2=34 variables, such as x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{32}=3,x_{33},x_{34}=2.
 
Thus x_{1}x_{2}\cdots x_{32}x_{33}x_{34}=3^{32}2^2. If this is correct

 x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{32}=\left\lceil e\right\rceil .

For x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{49}=x_{50}=\left\lfloor e\right\rfloor =2, the product is only 2^{50}<3^{33}.

I noticed that the function x\longmapsto\dfrac{x}{e^{\ln x-1}}=e and 2<e<3. I have not yet a rigorous argument.

Solution by Neil Dickson. The maximum is 3^{32}2^2.

Rough proof:
It’s definitely the case that no factor can be 1 in the maximum, since the 1 could just be added to any other factor to increase the product.  It’s also true that for any integer 5 or greater, 3(n-3)>n, so it could be split into 3 and n-3 to give a larger product and equal sum.  Any 4 can be split into 2 and 2 giving the same sum and product.  Therefore only 2 and 3 are needed to represent the maximum.  Because 2^3<3^2, maximizing the number of 3’s should give the maximum product.  The maximum number of 3’s you can fit into 100 with an even remainder is 32, leaving 4, which is two 2’s.

This turns out to also be equivalent to asking “What’s the maximum number of maximal independent sets that can occur in a graph of 100 nodes?”  The graph that satisfies this condition is just 32 K_3‘s and 2 K_2‘s (it’s 34 disconnected components, but it’s still a graph).  I’ve been using this lately to construct very bad cases to test out a couple of quantum algorithms I’ve been working on.

Sobre a natureza aritmética da soma e diferença de π (pi, a constante de Arquimedes) e e (constante ou número de Euler)

Sabe por que motivo é que a soma s=\pi+e e a diferença d=\pi-e não podem ser simultaneamente números algébricos?

Se não sabe, não consegue descobrir por si, e quer saber, veja no artigo recente Mathematical Embarassments, do Prof. Dick Lipton a explicação em três linhas (ou menos). Quanto a ambos (sd) serem transcendentes, desconhece-se. Isto é uma questão matemática “embaraçosa”, na opinião do autor do blogue Gödel’s Lost Letter and P=NP.

Duas questões de exames sobre limites de sucessões, Análise Matemática, do Professor Jaime Campos Ferreira

O Professor Campos Ferreira foi o meu professor de Matemáticas Gerais do Técnico, no ano lectivo  1968/69. Nessa altura, dava-se nela Análise e Álgebra Linear.  No site da IST Press o livro em cima é apresentado desta forma:

 « Exercícios de Análise Matemática I e II reúne exercícios destas disciplinas fundamentais elaborados (e alguns resolvidos) por diversos professores do Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico e tem origem numa colectânea de exercícios de exames do Prof. Jaime Campos Ferreira iniciada pelo Prof. Francisco Viegas. Por acordo entre os diversos autores entendeu-se atribuir a autoria deste texto ao Departamento de Matemática do Instituto Superior Técnico» 

Por ser o ano mais próximo de 1968/69, retirei da página 15  o seguinte enunciado, correspondente ao exercício 1.42,  de 1971, cuja resolução é apresentada, mas que aqui não reproduzo:

« Determine os limites das sucessões de termos gerais:

a) u_{n}=\left( \dfrac{a}{1+\left\vert a\right\vert }\right) ^{n},\qquad\qquad\qquad b) u_{n}=\sqrt[n]{\dfrac{\left( 3n\right) !}{\left( n!\right) ^{3}}},

onde a é  um número real. »

 Sugestão: sobre b) – consultar esta minha entrada.

Resoluções: ver comentário de ateixeira. Continuar a ler

Transformação de um radical duplo na soma de dois simples. O matemático José Sebastião e Silva

Álgebra 7.º liceu

Álgebra 7.º liceu

Na obra de Sebastião e Silva incluem-se livros escolares do liceu: de Matemática “clássica”, os Compêndios de Álgebra para o 6.º e 7.º anos (em colaboração com J. da Silva Paulo),  Geometria Analítica,  para o 7.º ano; de Matemática “moderna”,  o Compêndio de Matemática I, II e III e respectivos Guias (Texto-piloto segundo o projecto executado pelo Ministério da Educação Nacional em cooperação com a O.C.D.E.).

Estes últimos serviram para apoiar os professores e alunos das turmas piloto que seguiram, em finais de 1960 e princípios de 1970,  um programa inovador, por ele concebido, considerado de nível internacional.

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