Reuno aqui, para comodidade de leitura, algumas entradas já publicadas sobre o princípio da indução matemática.
§1. Por este princípio, a demonstração da veracidade de uma determinada proposição matemática para todos os inteiros
, comporta dois passos:
(1) Verifica-se a sua validade para um dado valor inteiro (normalmente, 0 ou 1) da variável de indução
.
(2) Assume-se que é válida para o inteiro e demonstra-se que é também válida para
isto é, que
.
Vamos demonstrar de seguida o Teorema Binomial por este princípio.
Teorema: Para todo o valor de natural, tem-se
qualquer que seja o valor real de
Demonstração:
O teorema verifica-se para
e
logo
Admitimos agora que o teorema é válido para
isto é, que
e demonstremos que o é igualmente para
Como
vem
Manipulamos o segundo membro (lado direito) até obter De facto,
pela identidade de Pascal e porque
Mas, como
provámos, como pretendíamos, que e assim acabámos a demonstração.
A partir do desenvolvimento de deduz-se imediatamente o de
Corolário: Quaisquer que sejam os reais e
e o natural
é válida a fórmula
Demonstração: Admitamos que
.
Como
,
para tem-se
e
ou seja a fórmula ainda é válida .
§2. O Princípio de indução matemática é o seguinte axioma de Peano:
Se o conjunto A, contido em N, for tal que 1 pertence a A e n+1 pertence igualmente a A sempre que n seja elemento de A, então A = N. [N aqui é o conjunto dos naturais 1, 2, 3, … ].
Uma propriedade P diz-se hereditária quando, sendo verdadeira para o inteiro n, é também verdadeira para o sucessor de n (n+1).
Assim, o Princípio de Indução equivale a afirmar que uma dada proposição, verdadeira para n=1 e hereditária, implica que seja verdadeira para todos os naturais 1, 2, 3, … .
Por isso, a aplicação deste método comporta as duas etapas (ou passos) conhecidos
-
Demonstração de que uma dada proposição é válida para n=1. (Caso Base).
-
Demonstração de que a proposição é hereditária. (Etapa de Indução).
Este princípio nada ou quase nada tem a ver com o método de indução próprio das ciências naturais, que se caracteriza por se estabelecer uma lei geral observando a repetição do mesmo fenómeno em inúmeros casos particulares.
§3. Nem todas as provas por indução têm o mesmo grau de dificuldade. Enquanto a do 1º. exemplo é extremamente simples e natural, a do 2º. obtive-a após tentativas, recorrendo a uma identidade algébrica auxiliar — a ser usada no passo de indução — cuja demonstração me pareceu mais simples do que a identidade inicialmente apresentada, que pode ser deduzida a partir da regra de Ruffini de divisão de um polinómio em , de grau
, por
.
Exemplo 1: prove por indução matemática
Para a igualdade verifica-se:
Admite-se que se verifica para
e prova-se que nesse caso também se verifica para , ou seja, devemos chegar a
Vejamos: se
então, somando a ambos os membros da igualdade e simplificando o segundo membro, deduzimos sucessivamente
Ora, como
provámos deste modo que a igualdade se verifica para qualquer inteiro .
Exemplo 2: se for um inteiro positivo, prove
Para , temos
.
Antes de aplicar a hipótese de indução, a ideia fundamental consiste em mostrar a validade da identidade auxiliar
em que
.
De facto
e
Mas
e
Subtraindo membro a membro, vem
pelo que fica provada a identidade da qual se tira
Assim, admitindo que
resulta que
como se queria mostrar.
§ 4. Exercício 1: prove que existe apenas um número natural que verifica a relação
Sugestão: utilize o princípio de indução para provar que a relação não é satisfeita por nenhum natural superior a seis.
Esta ideia é devida a Vishal Lama (neste comentário em inglês).
§ 5. Exercício 2: podemos demonstrar que
De facto substituindo em
por
, ficamos com
,
que vemos ser verdadeiro, visto que da equação funcional da função gama
se obtém, para
.
Admitimos agora que
e fazemos, na equação funcional, . Como vem sucessivamente
demonstra-se desta forma o passo de indução.
Ficheiro pdf. inducaomatematicablogpt
a materia esta excelente, tanto q me interessou. sera que posso obtê la por email? alsonjose@yaoo.com
[Enviei-lhe um email, mas recebi uma mensagem a informar-me que não foi entregue; de seguida reenviei para yahoo em vez de yaoo, mas sem sucesso.
A Tavares]
Foi muito bem fetia a demonstração, só acho que poderia haver mais comentários.
é um método de prova matemática usado para demostrar a verdade de um número infinito de proposições
Só não entendo como é que no final sabemos que também é válido para n+1 se não da igual nos dois lados
“não da igual nos dois lados”
Não sei se percebo a sua dúvida. Verifiquei todos os exemplos que apresentei e não detectei nenhum erro. No final não obtemos uma igualdade do tipo
, mas do tipo
.
O que fiz foi provar que admitindo a validade de uma igualdade do tipo
daí decorria a igualdade
, além de ter verificado o caso base
, em que, por exemplo, no teorema binomial é
.
O princípio da indução é um dos básicos na matemática. Veja como apliquei-a em elementosdeteixeira.blogspot.com no artigo funções aritméticas multiplicativas. Parabéns pelo execelente artigo.
Poderia enviar -me esse material?
Inseri agora no blogue estas notas em formato pdf. inducaomatematicablogpt
Valeu,
O material é ótimo, me ajudou muito.
Posso passar algumas questões para tirar para tirar duvidas
Excelente conseguir tirar todas as minha dúvidas muito obrigado.
Este meu blogue, como já referi por mais do que uma vez, não se destina por princípio a responder a questões. Sugiro que as coloque por exemplo no Mathematics Stack Exchange, site de perguntas e respostas de matemática de nível geral, em inglês.