Three gamma function identities

Let n=1,2,\ldots  . Show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n+1)=2^{2n}\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right) \Gamma (n+1)\qquad\left( 1\right)

and

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2n)=2^{2n-1}\Gamma (n)\Gamma\left( n+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 2\right) .

Let x\in\mathbb{R}. If x>0, show that

\sqrt{\pi}\;\Gamma (2x)=2^{2x-1}\Gamma (x)\Gamma\left( x+\dfrac{1}{2}\right)\qquad \left( 3\right) .

Hints: for the first two identities use the formula proved here. As for the last one evaluate the beta function value B(x,x) and by means of an appropriate  change of variable find a relation between B(x,x) and B\left(x,\dfrac{1}{2}\right) .

PS. Listed in the Carnival of Mathematics #56. See pingback in the 1st comment.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Calculus, Cálculo, Exercícios Matemáticos, Exercise, Função Gama, Funções Especiais, Identidade matemática, Matemática, Math, Problem, Problemas com as etiquetas , , . ligação permanente.

2 respostas a Three gamma function identities

  1. Pingback: Carnival of Mathematics #56 « Reasonable Deviations

  2. Jean Lauro Muller diz:

    A ETNOMATEMÁTICA SERIA UM TÓPICO INTERESSANTE PARA DISCUSSÃO.
    OBRIGADO PELO ESCLARECIMENTO SOBRE AS 3 IDENTIDADES DA FUNÇÃO GAMMA.

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