Verificação de identidades trigonométricas através dos complexos

Actualização de 1.08.09: incluída figura

| cos α + i sin α | = 1, Re(α) = cos α, Im(α) = sin α

| cos α + i sin α | = 1, Re(α) = cos α, Im(α) = sin α

De

z=e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha

e

z^{-1}=e^{-i\alpha }=\cos \alpha -i\sin \alpha

obtemos, por soma

\cos \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}

e, por subtracção

\sin \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}

Em vez dos métodos usuais da trigonometria é  possível verificar uma identidade trigonométrica que seja uma fracção racional em \cos \alpha e \sin \alpha utilizando estas substituições. Este é  um dos métodos indicados neste post de Annoying Precision.

Exemplo: Demonstrar a seguinte identidade

\dfrac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }\qquad \alpha \neq \left( 2k+1\right) \dfrac{\pi }{2};\;k\in\mathbb{N}_{0}

Então fazendo as substituiçoes no primeiro membro, teremos

\dfrac{1+\sin \alpha }{\cos \alpha }=\dfrac{1+\dfrac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}{\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}

e, no segundo

\dfrac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha }=\dfrac{\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}{1-\dfrac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}

Assim, para que a identidade seja verdadeira é  condição suficiente que seja verdadeira a seguinte

\dfrac{1+\dfrac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}{\dfrac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha }}{2}}=\dfrac{\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}{1-\dfrac{e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}}

ou, visto que z=e^{i\alpha } e z^{-1}=e^{-i\alpha },  as identidades sucessivas

\left( 1+\dfrac{z-z^{-1}}{2i}\right) \left( 1-\dfrac{z-z^{-1}}{2i}\right) =\left( \dfrac{z+z^{-1}}{2}\right) \left( \dfrac{z+z^{-1}}{2}\right)

1-\left( \dfrac{z-z^{-1}}{2i}\right) ^{2}=\dfrac{\left( z+z^{-1}\right) ^{2}}{4}

1+\dfrac{\left( z-z^{-1}\right) ^{2}}{4}=\dfrac{\left( z+z^{-1}\right) ^{2}}{4}

4+\left( z-z^{-1}\right) ^{2}=\left( z+z^{-1}\right) ^{2}

4+z^{2}+z^{-2}-2z^{-1}z=z^{2}+z^{-2}+2z^{-1}z

4-2=2

Como esta identidade é verdadeira, conclui-se que as anteriores, incluindo a do exemplo são igualmente verdadeiras.

\bigskip

Exercício: Verifique a seguinte identidade trigonométrica

3+4\cos \alpha +\cos 2\alpha =2\left( 1+\cos \alpha \right) ^{2}

usada, na forma da desigualdade 

3+4\cos \alpha +\cos 2\alpha \geq 0,

por De la Vallée Poussin num passo da demonstração  do teorema dos números primos

\blacktriangleright Seguindo o mesmo procedimento

\cos \alpha =\dfrac{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}\qquad ,

 ou

\cos 2\alpha =\dfrac{e^{i2\alpha }+e^{-i2\alpha }}{2}\qquad ,

e

z=e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha

z^{-1}=e^{-i\alpha }=\cos \alpha -i\sin \alpha

tem-se agora

3+4\dfrac{z+z^{-1}}{2}+\dfrac{z^{2}+z^{-2}}{2}=2\left( 1+\dfrac{z+z^{-1}}{2}\right) ^{2}

ou, após simplificação

\dfrac{1}{2}z^{2}+2z+3+2z^{-1}+\dfrac{1}{2}z^{-2}=\dfrac{1}{2}z^{2}+2z+3+2z^{-1}+\dfrac{1}{2}z^{-2}

0=0\qquad \blacktriangleleft

Adenda de 2.08.09:

Problema: utilize  este método para demonstrar que

\dfrac{1-2\cos ^{2}\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\tan \alpha -\cot \alpha

isto é

\dfrac{1-2\cos ^{2}\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }.

Por este processo também é fácil verificar se certas  igualdades trigonométricas são  identidades ou equações. Por exemplo, veja se a igualdade seguinte é ou não uma identidade:

3\cos^2x+5\sin^2x=7\sin x

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Verificação de identidades trigonométricas através dos complexos

  1. Josemar diz:

    favor me ajudar. cos2x – sen2x = 1-tg x
    1+tgx sec2x

  2. Wildjane diz:

    Muito explícito, gostei. Porém : Deviam aplicar arco duplo e só depois desenvolver.

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