Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

Traduzo e adapto  esta minha entrada em inglês  onde apresentei um problema transcrito de um post do Professor Gowers, bem como dois dos meus comentários.

O Professor Gowers usa um método contínuo para modelar o seguinte problema discreto apresentado num seu post recente.

Suponha para  simplificar que a taxa de juro de um empréstimo contra hipoteca é de  5% e que essa taxa permanece constante. Se o empréstimo for de  £50000 e pagar  £500 por mês, indique qual o tempo aproximado que  demoro a liquidá-lo?

Texto original:

Suppose for simplicity that the interest rate for an interest-only mortgage would be 5% and that this rate never changes. If I take out a repayment mortgage of £50,000 and pay £500 a month, then roughly how long will it take me to pay off the mortgage?

 

Eis os meus dois comentários:

1. “Apresento uma proposta de resolução directa do seu problema discreto de pagamento de um empréstimo contra hipoteca. Esta resolução, mesmo que esteja correcta, claro que é de longe muito menos instructiva que o seu argumento!
Em geral, dado o principal P,  temos de determinar o valor dos pagamentos constantes A durante n períodos mensais. O valor de A no período k é equivalente ao valor actual A/\left( 1+i\right) ^{k} unidades monetárias, em que  i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Somando em k, desde 1 a n, obtemos a soma

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{\left( 1+i\right) ^{k}}

Ora agora temos de somar uma progressão geométrica de razão r=1/(1+i) e primeiro termo u_{1}=A/\left( 1+i\right)

\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^{n}-1}{\dfrac{1}{1+i}-1}=A\dfrac{\left( 1+i\right) ^{n}-1}{i\left( 1+i\right) ^{n}}=P

 ou

A=P\dfrac{i\left( 1+i\right) ^{n}}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}

No problema dado, os pagamentos ocorrerão durante n meses, com i=5/12\%=\dfrac{5}{1200} e P=50\,000. Assim

 A=50\,000\dfrac{\dfrac{5}{1200}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}}{\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1}=500

 ou

\dfrac{5}{12}\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}=\left( 1+\dfrac{5}{1200}\right) ^{n}-1

Resolvendo em ordem a n, obtemos

n=\dfrac{\ln 12-\ln 7}{\ln 241-\ln 240}\approx 129,63 meses (10,802 anos)

e, como provou

20\ln 2\approx 13,863>10,802.

2. “Permita-me que  acrescente só mais uma interpretação da minha parte: a taxa de juro contínua efectiva pode obter-se da taxa nominal de  5%, composta  m vezes ao ano como segue:

\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m}-1=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{0,05}{m}\right) ^{m/0,05}\right] ^{0,05}-1 =e^{0,05}-1\approx 5,127\%

 (que a sua fórmula e^{\alpha }=1,05 aproxima para \alpha =0,05), e em geral, no caso de uma taxa de juro nominal r, como

i_{E\;(m\rightarrow \infty )}=\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m}-1  =\underset{m\rightarrow \infty }{\lim }\left[ \left( 1+\dfrac{r}{m}\right) ^{m/r}\right] ^{r}-1=e^{r}-1.

Do ponto de vista de um problema puramente matemático o modelo que discute é muito mais interessante e de maior valor.”

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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2 respostas a Prazo de liquidação de um empréstimo (número de períodos de uma série uniforme)

  1. Sebastião Vieira do Nascimento diz:

    Prezado Américo Tavares:
    Resolvi esse problema à minha maneira e lhe enviei com arquivo anexado. Você recebeu e não houve tempo de lê-lo ou não recebeu?

    Abraços

    Sebá

  2. Caro Professor Sebastião Vieira do Nascimento,

    Recebi o seu ficheiro (arquivo) com a resolução deste problema. Li-o e, como escrevi no meu comentário de resposta (aqui), no post Factor de valor actual de uma série uniforme — Cálculo da taxa de juro, parece-me que a «diferença está em que eu (…) considerei a taxa de juro (anual) como sendo nominal e não efectiva, por ser essa a forma habitual como os bancos aqui, em Portugal, publicitam a taxa de juro, podendo ou não serem obrigados a referir também a taxa anual efectiva equivalente. Concretizando, no Problema do Professor Gowers, a taxa de 5%, no meu cálculo, é uma taxa anual nominal, e no seu é uma taxa anual efectiva. Estes 5% nominais correspondem a 5,1162% efectivos.»

    Julgo ser só por isso que, no seu cálculo, chega a n=128,95 meses = 10,74 anos, em vez dos meus n\approx 129,63 meses (10,802 anos). Claro, se a taxa de juro do empréstimo acima referida (5%) for efectiva, então a solução correcta será a sua e não a minha.

    Sobre cálculos financeiros a minha referência principal é o livro Engineering Economics de Rigg, Bedworth e Randhawa da Mc Graw Hill, 4.ª ed., 1996.

    Se achar por bem, posso publicar uma transcrição da sua resolução aqui, nos comentários, convertendo-a para LaTeX, ou simplesmente um link para a versão pdf do seu ficheiro (arquivo).

    Abraços

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