Exercício de Probabilidades sobre aniversários de n pessoas

As magias matemáticas não têm piada quando não se explicam

Nuno Crato, Números Mágicos, Expresso 11.07.09

Integrado no tema Magia da Única do Expresso de 11.07.09 aparece o artigo de  Nuno Crato Números Mágicos.

(Aqui na versão online.)

Números mágicos de Nuno Crato, Expresso, 11.07.09

Números mágicos de Nuno Crato, Expresso, 11.07.09

Nuno Crato divide-o em duas magias matemáticas: uma que se explica pela  Lei de Benford e a outra a que chama O truque dos aniversários no mesmo dia.

 

Nuno Crato, O truque dos aniversários no mesmo dia, Expresso, 11.07.09

Nuno Crato, O truque dos aniversários no mesmo dia, Expresso, 11.07.09

Num ano comum, qual a probabilidade de pelo menos duas  pessoas escolhidas ao acaso entre n fazerem anos em dias diferentes? [editado em 19.07.09]

Depois de ler a exposição e explicação de Nuno Crato, as contas que fiz para responder a esta questão foi relacionar a probabilidade P(n) associada a n pessoas com a probabilidade P(n-1) associada a n-1 pessoas:

P(n)=P(n-1)\times\dfrac{366-n}{365}

chegando, por indução, a

P(n)=\dfrac{1}{365^{n-1}}\times \left( 366-2\right) \times \left( 366-3\right) \times\cdots \times\left( 366-n\right) =\dfrac{1}{365^{n-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left( 366-k\right)

Exemplo: 30 pessoas

P(30)=\dfrac{1}{365^{30-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{30}\left( 366-k\right) \approx 0,29368\approx 29,37%

Num ano bissexto, qual a probabilidade de pelo menos duas  pessoas escolhidas ao acaso entre n fazerem anos em dias diferentes? [editado em 19.07.09]

A diferença em relação ao ano comum traduz-se apenas em mais  um dia, pelo que

P(n)=\dfrac{1}{366^{n-1}}\times \left( 367-2\right) \times \left( 367-3\right) \times \cdots \times \left( 367-n\right) =\dfrac{1}{366^{n-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{n}\left( 367-k\right)

Exemplo: 30 pessoas

P(30)=\dfrac{1}{366^{30-1}}\displaystyle\prod_{k=2}^{30}\left( 367-k\right) \approx 0,29470\approx 29,47%

Logo, a probabilidade dos aniversários de nenhuma das n pessoas escolhidas ao acaso calharem no mesmo dia é [editado em 21.07.09]

1-P(n)

em que P(n) é dado pelo(s) produto(s) indicado(s) acima. Os dois exemplos anteriores resultam, respectivamente, em

\bar{P}(30)=1-P(30)\approx 100-29,37\%=70,63\%

e

\bar{P}(30)=1-P(30)\approx 100-29,47\%=70,53\%

nos anos comuns e nos bissextos.

Nota de 16.07.09: Pelo princípio das gavetas de Dirichlet, também conhecido pelo das casas dos pombos, se o número de pessoas  n>365 (nos anos comuns) ou n>366 (nos anos bissextos), temos a certeza de que pelo menos duas fazem anos no mesmo dia.

Nota de 21.07.09: outras expressões equivalentes são

P(n)=\left\{ \begin{array}{c}\dfrac{364!}{365^{n-1}\left( 365-n\right) !}\qquad\text{se o ano \'{e} comum} \\ \dfrac{365!}{366^{n-1}\left( 366-n\right) !}\qquad \text{se o ano \'{e} bissexto}\end{array}\right.

e

\bar{P}(n)=1-P(n)=\left\{ \begin{array}{c}1-\dfrac{364!}{365^{n-1}\left( 365-n\right) !}\qquad\text{se o ano \'{e} comum} \\ 1-\dfrac{365!}{366^{n-1}\left( 366-n\right) !}\qquad \text{se o ano \'{e} bissexto}\end{array}\right.

Atendendo a que \Gamma (n+1)=n!, obtemos para os anos comuns,

\bar{P}(x)=1-P(x)=1-\dfrac{\Gamma \left( 365\right) }{365^{x-1}\Gamma \left( 366-x\right) }

cujo representação gráfica é

Probabilidade de duas pessoas pelo menos fazerem aniversários no mesmo dia em função do número de pessoas
Probabilidade de duas pessoas pelo menos fazerem aniversários no mesmo dia em função do número de pessoas

[Actualização de 21.07.09: corrigido título e  o parágrado ” … probabilidade dos aniversários de nenhuma das n pessoas escolhidas ao acaso calharem no mesmo dia …”]

[Actualização de 22.07.09: nova alteração do título]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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