Série telescópica irracional e trigonométrica

Muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto.

Exercício: Sejam a_n e b_n respectivamente

a_n=\arcsin (b_n)+\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arcsin (b_{n-1})}

 b_n=\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}.

Mostre que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_n}=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}.

Resolução: a única dificuldade é mostrar que a série é telescópica. Vamos aproveitar a identidade trigonométrica  provada  neste problema:

\arctan\left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u.

Dela obtém-se

\arctan \left( x\right) =\arcsin \left( \sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}}\right) ,

fazendo a substituição u=\sqrt{\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}} ( equivalente a x=\dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}). Assim, temos

 \arcsin (b_n)=\arcsin\left(\dfrac{n}{\sqrt{1+n^2}}\right) =\arctan \left( n\right)

\arcsin (b_{n-1})=\arcsin\left(\dfrac{n-1}{\sqrt{1+{n-1}^2}}\right) =\arctan \left( {n-1}\right)

donde

a_n=\arctan \left( n\right) +\arctan (n-1)-2\sqrt{\arctan (n)\cdot\arctan \left( {n-1}\right) }.

Pondo u_{n}=\arctan \left( n\right) e atendendo à relação algébrica

\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}=\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}

chegamos efectivamente à série telescópica

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{a_{n}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}+u_{n-1}-2\sqrt{u_{n}u_{n-1}}}

=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{u_{n}}-\sqrt{u_{n-1}}=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{u_{N}}-\sqrt{u_{0}}

=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }-\sqrt{\arctan \left( 0\right) }=\underset{N\rightarrow \infty }{\lim }\sqrt{\arctan \left( N\right) }=\sqrt{\dfrac{\pi }{2}}\blacktriangleleft

Repetindo, muitas vezes  uma série é telescópica, mas nem sempre é fácil reconhecer esse facto. Com este exemplo pretendi ilustrar uma situação de dificuldade intermédia, avaliação que é claramente subjectiva porque depende muito de resultados anteriores que se conhecem ou não: neste caso, uma identidade trigonométrica.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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