Definições equivalentes dos polinómios de Chebyshev ( ou Tchebycheff )

Mostre que as duas definições A e B dos polinómios de Chebyshev ou Tchebycheff  (dependendo da transliteração adoptada) são equivalentes.

A – O polinómio de Chebyshev T_n(x) de ordem n\ge 0  verifica a relação de recorrência

T_0(x)=1, T_1(x)=x,

T_{n+1}=2xT_n(x)-T_{n-1}(x) para n>0.

B – Para todo o inteiro n\ge 0 o polinómio de Chebyshev  é dado por

T_n(x)=\cos (n\arccos x).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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Uma resposta a Definições equivalentes dos polinómios de Chebyshev ( ou Tchebycheff )

  1. Comentário de Paulo Lino, em Junho 18, 2009, no meu blogue auxiliar :

    De fato, mostraremos que T_{n}(x)=\cos (n\arccos x) satisfaz a fórmula de recorrência.

    2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)=2x\cos (n\arccos x)-\cos \left[ \left( n-1\right) \arccos x\right]

    =2x\cos (n\arccos x)-\left[ \cos (n\arccos x)\cos (n\arccos x)+\sin (n\arccos x)\sin (\arccos x)\right]

    =\cos (\arccos x)\cos (n\arccos x)-\sin (n\arccos x)\sin (\arccos x)

    =\cos \left[ \left( n+1\right) \arccos x\right]

    =T_{n+1}(x)

    No original: De fato, mostraremos que T_n(x) = cos(n arccosx) satisfaz a fórmula de recorrência.

    2xT_n(x) – T_(n-1)(x) = 2xcos(narccos x) – cos[(n-1)arccos x]
    = 2xcos(narccos x) – [cos(narccos x)cos(arccos x) + sen(narccos x)sen(arccos x)]
    = cos(arccos x)cos(narccos x) – sen(narccos x)sen(arccos x)
    = cos[(n+1)arccos x]
    = T_(n+1)(x)

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