Uma aplicação interessante do teorema de Rolle

Admitamos que uma dada função  real f é  contínua no intervalo \left[ a,b\right] e diferenciável em \left] a,b\right[ . Pelo teorema de Rolle, se f(a)=f(b), existe um ponto c\in\left] a,b\right[ tal que f^{\prime}(c)=0. Como é sabido a interpretação geométrica é  que entre os pontos \left( a,f(a)\right) e \left( b,f(b)\right) do gráfico de f há  pelo menos uma tangente horizontal. Por exemplo, consideremos a função f(x)=x^{2}-1 no intervalo \left[ -1,1\right] . Neste caso, em que f(-1)=f(1)=0 e as condições da hipótese do teorema se verificam, deve haver um c\in\left] -1,1\right[ tal que f^{\prime }(c)=0. Como f^{\prime }(x)=2x vemos que c=0 .

Antes de expor a aplicação em toda a sua generalidade, vejamos primeiro duas situações particulares. Uma, com g(x)=x^{2}-1 e f(x)=g(x)e^{-3x}. Continua a ser f(-1)=f(1)=0. Mas

f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)e^{-3x}-3g(x)e^{-3x}=\left[ g^{\prime }(x)-3g(x)\right] e^{-3x}

Pelo mesmo teorema existe algum ponto c em \left] -1,1\right[ onde f^{\prime }(c)=0. Como e^{-3x}\neq 0, c deve ser a raiz de

g^{\prime }(c)-3g(c)=0

Podemos dar uma interpretação gráfica a este resultado: há pelo menos um ponto entre \left( -1,g(-1)\right) e \left( 1,g(1)\right) do gráfico de g cuja tangente tem um declive igual ao triplo do valor de g nesse ponto. Para esta função g esse ponto é facilmente calculável

g^{\prime }(c)-3g(c)=0\Leftrightarrow 2c-3\left( c^{2}-1\right) =0\Leftrightarrow c=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\sqrt{10}

\bigskip

rolleex

\bigskip

Generalizando um pouco, se g(x)=x^{2}-1 e alterarmos f(x) para

f(x)=g(x)e^{-kx}\qquad k\in\mathbb{R}

obtemos c\in \left] -1,1\right[ tal que

g^{\prime }(c)-kg(c)=0

Finalmente eis a aplicação de maior generalidade, cuja  forma  de resolução é a sugerida na Referência.

Seja g  uma função real definida em \left[ a,b\right] e diferenciável em \left] a,b\right[ ; se g(a)=g(b)=0, então qualquer que seja o real k, existe um ponto c\in \left] a,b\right[   tal que

g^{\prime }(c)=kg(c).

\blacktriangleright Consideremos um k\in\mathbb{R} arbitrário e a função f(x)=g(x)e^{-kx}. Como e^{-kx} não se anula qualquer que seja o real x, os zeros de g(x) são  os de f(x), o que nos permite afirmar que f(a)=f(b)=0.

Sendo g diferenciável em \left] a,b\right[ , é contínua neste intervalo, pelo que f também é contínua e diferenciável para todo o x\in \left] a,b\right[ , logo verificam-se as condições de aplicação à  função  f do teorema de Rolle. Assim existe um ponto c em \left] a,b\right[ onde f^{\prime }(c)=0. Mas a derivada de f(x) é a função

f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)e^{-kx}-kg(x)e^{-kx}

donde, pelo mesmo motivo atrás indicado em relação  aos zeros de g(x) e de f(x), haverá um zero de f^{\prime }(c)

f^{\prime }(c)=g^{\prime }(c)e^{-kc}-kg(c)e^{-kc}=\left( g^{\prime }(c)-kg(c)\right) e^{-kc}

que ocorre quando

g^{\prime }(c)-kg(c)=0

o que justifica a afirmação enunciada. \blacktriangleleft

O k é  arbitrário, o que nos permite apenas afirmar que qualquer que seja k\in\mathbb{R} existe um c\in \left] a,b\right[ tal que f^{\prime }(c)=kf(c), sem saber em geral a relação entre c e k. A interpretação  geométrica deste resultado é  a de que no gráfico de uma função g, nas condições enunciadas, há pelo menos um ponto entre \left( a,g(a)\right) e \left( b,g(b)\right) cuja tangente tem um declive que é  um múltiplo  arbitrário do valor de g nesse ponto.

Nota: informaram-me que a aplicação apresentada será  um exercício de Curso de Análise, vol.1, de Elon Lages Lima.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Análise Matemática, Cálculo, Matemática, Teorema / Teoria com as etiquetas . ligação permanente.

4 respostas a Uma aplicação interessante do teorema de Rolle

  1. cicero paz pompeu diz:

    Valeu, vocês são bons. Um abraço para todos os responsáveis por este artigo.

  2. Saulo Jordão. diz:

    Parabéns meu cara Américo Tavares !
    Sou estudante do 1º período do curso de Ciência da Computação da Universidade Federal de Sergipe, e essa explicação me ajudou bastante.
    Abraço.

  3. Saulo Jordão. diz:

    Apenas uma informação: Sergipe é um estado do Brasil.

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