Problemas a nível do Básico de leitores

Dedidi reunir aqui alguns problemas a nível do Básico que foram colocados nos comentários, a que dei resposta. O enunciado ou a resolução foram por vezes ligeiramente editados.

1.  Num trabalho havia 16 questões. Carlos ganhara 5 pontos por cada questão certa e perdera 3 pontos por cada questão errada. Sabendo que ele tirou zero no trabalho, em quantas questões acertou?

Resolução: Chamo ao número de respostas certas p e ao número de respostas erradas q.

Se há 16 questões,

p+q=16

O número de pontos positivos correspondentes às respostas certas é 5p; o número de pontos negativos correspondentes às erradas é 3q. O número total de pontos é igual a 5p-3q que sabemos ser zero.

Precisamos de resolver o sistema

p+q=16
5p-3q=0

o que nos conduz a

p=6
q=10

O Carlos acertou em 6 questões.

Método alternativo: se p for o número de respostas certas, como 16-p é o número de erradas, basta resolver a equação

5p-3(16-p)=0

para obter, como antes, p=6.

2. Sabendo que 60% dos funcionários de uma empresa lêem a revista A, 80% lêem a revista B e que todos os funcionarios lêem ao menos uma revista, qual a percentagem dos que lêem as duas revistas?

Resolução: Vou designar por x a percentagem dos que lêem as duas revistas, por y a percentagem dos que lêm a B mas não lêem a A e por z a percentagem dos que lêem a A mas não lêem a B.

A informação de que todos os funcionários lêem ao menos uma revista traduz-se na equação

x+y+z=100

O dado de que 60% dos funcionarios de uma empresa lêem a revista A exprime-se por

x+z=60

O outro dado — 80% lêem a revista B — corresponde a

x+y=80

Resolvendo este sistema de três equações a três incógnitas, chegamos a

x=40
y=40
z=20

A resposta à pergunta é o valor de x, ou seja, 40% lêem as duas revistas.

3. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Resposta: a) 45

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16\times 2,25=36 milhas e o navio Y, 12\times 2,25=27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72-36=36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36^2+27^2=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

Penso utilizar esta entrada para eventualmente responder a outros problemas deste nível.

4. Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623?

Resolução: O primeiro é 25 (5×5) e o último 620 (5×124). A diferença entre dois múltiplos sucessivos é 5:

25, 30, 35, … , 615, 620

Para os não ter de contar a todos, pode escrever-se a equação

25 + 5x = 620

em que x representa o número de saltos, de cinco em cinco, que têm que se dar para, partindo do 25 chegar ao 620.

Resolve-se  em ordem a x

5x = 620 - 25
5x = 595
x = 595 / 5 = 119.

Agora tem que  se somar um para incluir o 25, que não é contado pela equação 25 + 5x = 620:

119 + 1 = 120.

Método alternativo (indicado por um anónimo):

620:5-20:5=600:5=120

Minha explicação adicional: 620 é o maior múltiplo de 5 entre 21 e 623; 20 é o múltiplo de 5 imediatamente anterior a 25.

5. Um automobilista reparou que ao sair de casa o mostrador indicava 80 km e um consumo médio total de 8,3 l/100 km. Ao chegar ao destino os valores correspondentes eram respectivamente 410 km e 6,3 l/100 km e ao regressar a casa, 760 km e 6,1 l/100 km. Sabendo que não alterou manualmente as contagens, indique em qual dos percursos de ida ou de regresso fez uma condução mais económica. 

(Observação: este problema não me foi enviado por nenhum leitor;  é da minha responsabilidade — coloquei-o aqui por ter um nível semelhante aos restantes desta entrada)

Resolução: Pretende saber-se se o consumo médio parcial de combustível entre os km 80 e 410 é superior ou inferior ao verificado entre os 410 e 760 km. Os consumos totais de litros de combustível foram

(a) antes de iniciar a partida

\dfrac{80}{100}\times 8,3 l

(b) na ida

\dfrac{410}{100}\times 6,3-\dfrac{80}{100}\times 8,3 l

(c) no regresso

\dfrac{760}{100}\times 6,1-\dfrac{410}{100}\times 6,3 l

Os consumos médios por km foram então, na ida e no regresso, respectivamente,

\left( \dfrac{410}{100}\times 6,3-\dfrac{80}{100}\times 8,3\right) :\left( 410-80\right) l/km

\left( \dfrac{760}{100}\times 6,1-\dfrac{410}{100}\times 6,3\right) :\left( 760-410\right) l/km

e aos 100 km

100\left( \dfrac{410}{100}\times 6,3-\dfrac{80}{100}\times 8,3\right) :\left( 410-80\right) =5,8152\text{ l/100 km}

 100\left( \dfrac{760}{100}\times 6,1-\dfrac{410}{100}\times 6,3\right) :\left( 760-410\right) =5,8657\text{ l/100 km}

 pelo que na ida o consumo médio foi ligeiramente inferior.

6. O comprimento de uma mesa retangular é o dobro da largura. Se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura seria quadrada. Qual é a área da mesa?

Resolução: Designo por x e y, respectivamente o comprimento e a largura da mesa. Sabemos pelo enunciado que x=2y. Se a mesa tivesse  45 cm a menos de comprimento passaria a ter um comprimento de x-45; se tivesse  45 cm a mais de largura passaria a ter uma largura igual a y+45. Como seria quadrada, isso traduz-se em que x-45=y+45. Ficamos com duas equações:

x=2y

x-45=y+45

que se resolvem facilmente obtendo-se x=180 cm e y=90 cm. O produto xy dá-nos a área da mesa:

xy=180\times 90 cm^2=1,62 m^2

7. Numa avenida os postes de iluminação estão espaçados de uma distância fixa de 120 m e existem telefones públicos instalados a cada 300 m. De quantos em quantos metros haverá um telefone público junto a um poste de iluminação?

Resolução: Neste caso deve calcular-se o menor múltiplo comum de 300 e 120, que é 600. De 600 em 600 m há um telefone público junto a um poste de iluminação. Admitindo que o primeiro telefone está instalado ao lado do primeiro poste, 600 m à frente voltam a estar instalados lado a lado.

8. No lançamento de um filme foram distribuídos 50 ingressos, através de um sorteio. No primeiro dia, foram distribuídas 10 entradas a mais do que no segundo dia e, no segundo dia, 5 a mais que no terceiro. Quantos ingressos foram distribuídos em cada dia?

Resolução: Vou considerar que x representa o número de ingressos distribuídos no primeiro dia. No segundo, são 10 a menos, ou seja x-10, e no terceiro 5 a menos do que no segundo, isto é, x-10-5=x-15. Somando os ingressos dos tês dias temos de obter 50, pelo que

x+x-10+x-10-5=50

Simplificando a equação, fica-se com

3x-25=50

que é equivalente a

3x=50+25

ou

3x=75

donde

x=\dfrac{75}{3}=25 

Então, as entradas distribuídas em cada dia foram:

– no primeiro: x=25;

– no segundo: x-10=25-10=15

– no terceiro: x-15=25-15=10.

 

 [Actualização de 4-4-2009: acrescentado ponto 4]

[Actualização de 10-4-2009: acrescentado ponto 5]

[Actualização de 22-4-2009: acrescentado ponto 6]

[Actualização de 3-5-2009: acrescentado ponto 7]

[Actualização de 31-9-2009: acrescentado ponto 8]

 

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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7 respostas a Problemas a nível do Básico de leitores

  1. ALESSANDRA S.GOMES diz:

    EM 50 PROBLEMAS RICARDO OBTEVE 26 PONTOS, SABENDO-SE QUE AS CERTAS VALEM 5 PONTOS E AS ERRADAS VALEM 3 PONTOS. QUANTOS PROBLEMAS RICARDO ACERTOU?
    PEÇO A RESOLUÇAO.

    • Este problema é em tudo semelhante ao 1. As adaptações necessárias são:
      Continuando a chamar ao número de respostas certas p e ao número de respostas erradas q, havendo agora 50 problemas, passa a ser:
      p+q=50
      O número de pontos positivos correspondentes às respostas certas continua a ser 5p e o número de pontos negativos correspondentes às erradas 3q. O número total de pontos é agora 5p-3q=26.
      O sistema passa a ser
      p+q=50
      5p-3q=26
      ou seja
      q=50-p
      5p-3(50-p)=26
      o que dá 5p+3p=26+150 e acabando a resolução:
      p=22
      q=28
      isto é, Ricardo acertou em 22 problemas (e errou 28).

  2. sadi martins servilha diz:

    Bom dia, gostaria que resolvessem dois problemas para mim.o primeiro é uma identidade que é essa a/a+1-2a/a-1+3/a+a²/a^a-1=-3/a³-a no quarto termo por problemas no meu teclado substitui o a elevado a a-1 pelo sinal que identifica a expoenciação no excel,o ^, o restante está normal.Também gostaria que resolvecem a equação do segundo grau f(x)=1/4 x² + x ,e me mostrassem um ponto no grafico dessa equação, por favor me mostrem o desenvolvimento.obrigado

    • Em relação à identidade confira se faltam parêntesis e se um dos termos é a^a.

      Quanto à função, admitindo que o leitor pretende determinar os zeros de f(x)=\dfrac{1}{4}x^2+x, pode fazê-lo, factorizando a sua expressão analítica:

      f(x)=\dfrac{1}{4}x^2+x=x\left( \dfrac{1}{4}x+1\right) .

      Pela lei de anulamento do produto f(x)=0, quando x=0 ou \dfrac{1}{4}x+1=0. Esta última equação é equivalente, multiplicando ambos os membros por 4, a x+4=0. Somando -4 a ambos os membros, ficamos com x=-4. Assim, temos duas raízes (ou zeros):

      x=0 e x=-4.

      Mas poderá utilizar a fórmula resolvente da equação quadrática (ou do 2.º grau), que deixo ao cuidado do leitor.

      A figura mostra os dois zeros da função.

  3. sadi martins servilha diz:

    boa noite,obrigado pela resposta,sobre a identidade no quarto termo na parte de baixo da fração é o a elevado à a-1. No ultimo termo(-3/a³-a)na parte de baixo da fração é o a elevado à 3.No livro que colhi esta igualdade não há parêntesis mas creio que ficaria assim (a/a+1)-(2a/a-1)+(3/a)+(a²/a^a-1)=-3/a³-a

    • Bom dia!

      Verifique novamente p.f., porque a igualdade

      \left( \dfrac{a}{a}+1\right) -\left( \dfrac{2a}{a}-1\right) +\left( \dfrac{3}{a}\right) +\left( \dfrac{a^{2}}{a^{a-1}}\right) =-\dfrac{3}{a^{3}}-a

      não é uma identidade! Se o primeiro membro for:

      a) A=\left( \dfrac{a}{a}+1\right) -\left( \dfrac{2a}{a}-1\right) +\left( \dfrac{3}{a}\right) +\left( \dfrac{a^{2}}{a^{a}}-1\right) ;

      b) B=\dfrac{a}{a}+1-\dfrac{2a}{a}-1+\dfrac{3}{a}+\dfrac{a^{2}}{a^{a}}-1;

      c) C=\dfrac{a}{a}+1-\dfrac{2a}{a}-1+\dfrac{3}{a}+\dfrac{a^{2}}{a^{a-1}};

      e chamando ao segundo membro D=-\dfrac{3}{a^{3}}-a, nenhuma das igualdades A=D, B=D ou C=D é uma identidade (igualdade verificada seja qual for o valor da variável a).

  4. sadi martins servilha diz:

    Bom dia,obrigado pela atenção,este livro deve estar errado.Pena que não tem resposta.obrigado

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