Problemas a nível do Básico de leitores

Dedidi reunir aqui alguns problemas a nível do Básico que foram colocados nos comentários, a que dei resposta. O enunciado ou a resolução foram por vezes ligeiramente editados.

1.  Num trabalho havia 16 questões. Carlos ganhara 5 pontos por cada questão certa e perdera 3 pontos por cada questão errada. Sabendo que ele tirou zero no trabalho, em quantas questões acertou?

Resolução: Chamo ao número de respostas certas p e ao número de respostas erradas q.

Se há 16 questões,

p+q=16

O número de pontos positivos correspondentes às respostas certas é 5p; o número de pontos negativos correspondentes às erradas é 3q. O número total de pontos é igual a 5p-3q que sabemos ser zero.

Precisamos de resolver o sistema

p+q=16
5p-3q=0

o que nos conduz a

p=6
q=10

O Carlos acertou em 6 questões.

Método alternativo: se p for o número de respostas certas, como 16-p é o número de erradas, basta resolver a equação

5p-3(16-p)=0

para obter, como antes, p=6.

2. Sabendo que 60% dos funcionários de uma empresa lêem a revista A, 80% lêem a revista B e que todos os funcionarios lêem ao menos uma revista, qual a percentagem dos que lêem as duas revistas?

Resolução: Vou designar por x a percentagem dos que lêem as duas revistas, por y a percentagem dos que lêm a B mas não lêem a A e por z a percentagem dos que lêem a A mas não lêem a B.

A informação de que todos os funcionários lêem ao menos uma revista traduz-se na equação

x+y+z=100

O dado de que 60% dos funcionarios de uma empresa lêem a revista A exprime-se por

x+z=60

O outro dado — 80% lêem a revista B — corresponde a

x+y=80

Resolvendo este sistema de três equações a três incógnitas, chegamos a

x=40
y=40
z=20

A resposta à pergunta é o valor de x, ou seja, 40% lêem as duas revistas.

3. Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Resposta: a) 45

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16\times 2,25=36 milhas e o navio Y, 12\times 2,25=27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72-36=36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36^2+27^2=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

Penso utilizar esta entrada para eventualmente responder a outros problemas deste nível. Continuar a ler

Matemáticos colaboram num projecto aberto de investigação conjunta através do blogue do Professor Timothy Gowers

      gowerspolymath

Print screen do feed na barra lateral deste blogue, 11-3-2009

Concretizou-se um novo modelo de produzir Matemática usando como meio principal o blogue do Professor Timothy Gowers, que em 1-2-2009 nele lançou um projecto aberto de tipo colaborativo, escolhendo para o iniciar o que considerou um exemplo genuíno de um problema de investigação matemática.

No seu último post — Polymath1 and open collaborative mathematics –, passado seis semanas, faz um balanço da iniciativa. Um dos aspectos mais relevante é porventura o próprio processo de surgimento de ideias e de interacção que houve entre os participantes.

Quanto ao resultado obtido, anunciou-o em Problem solved (probably).

 

25.06.09: Em post de hoje (DHJ write-up and other matters) o Professor Gowers anuncia que

http://www.cs.cmu.edu/~odonnell/dhj-june-25.pdf

é  um rascunho completo de A new proof of the density Hales-Jewett theorem, D. H. J. Polymath*, June 25, 2009.

[* http://michaelnielsen.org/polymath1/ ]

« Abstract

The Hales-Jewett theorem asserts that for every r and every k there exists n such that everyr-colouring of the n-dimensional grid \{1,...,k\}^{n} contains a combinatorial line. This result is a generalization of van der Waerden’s theorem, and it is one of the fundamental results of Ramsey theory. The theorem of van derWaerden has a famous density version, conjectured by Erdös and Turán an in 1936, proved by Szemerédi in 1975 and given a different proof by Furstenberg in 1977. The Hales-Jewett theorem has a density version as well, proved by Furstenberg and Katznelson in 1991 by means of a signicant extension of the ergodic techniques that had been pioneered by Furstenberg in his proof of Szemerédi’s theorem. In this paper, we give the first elementary proof of the theorem of Furstenberg and Katznelson, and the first to provide a quantitative bound on how large n needs to be. In particular, we show that a subset of [3]^{n} of density contains a combinatorial line if n\geq 2\uparrow\uparrow O(1/\delta ^{3}). Our proof is surprisingly[[“reasonably”, maybe]] simple: indeed, it gives what is probably the simplest known proof of Szemerédi’s theorem. » 

26.06.09: Por parte do Professor Terence Tao, sabe quem acompanha o seu blogue que está igualmente envolvido no projecto. O artigo  DHJ: Still writing the second paper, de 14.06.09, é o último sobre o assunto.

17.01.10: O draft quase final do artigo “Density Hales-Jewett and Moser numbers”, em versão pdf é este. A este respeito, o Professor Terence Tao escreveu no seu blogue:

 « I’ve made an effort to advance the writing of the second Polymath1 paper, entitled “Density Hales-Jewett and Moser numbers”. This is in part due to a request from the Szemeredi 60th 70th birthday conference proceedings (which solicited the paper) to move the submission date up from April to February. » 

No resumo do artigo lê-se:

« Abstract. For any n\geq 0 and k\geq 1, the density Hales-Jewett number c_{n,k} is defined as the size of the largest subset of the cube [k]^{n}:=\left\{ 1,\ldots ,k\right\} ^{n}, which contains no combinatorial line; similarly, the Moser number c_{n,k}^{\prime } is the largest subset of the cube [k]^{n} which contains no geometric line. A deep theorem of Furstenberg and Katznelson [11], [12], [19] shows that c_{n,k}=o\left( k^{n}\right) as n\rightarrow \infty (which implies a similar claim for c_{n,k}^{\prime }; this is already non-trivial for k=3. Several new proofs of this result have also been recently established [23], [2].

Using both human and computer-assisted arguments, we compute several values of c_{n,k} and c_{n,k}^{\prime } for small n,k. For instance the sequence c_{n,3} for n=0,\ldots ,6 is 1,2,6,18,52,150,450, while the sequence c_{n,k}^{\prime } for n=0,\ldots,6 is 1,2,6,16,43,124,353.

We also establish some results for higher k, showing for instance that an analogue of the LYM inequality (which relates to the k=2 case) does not hold for higher k. » 

16.01.10: dentro do mesmo espírito, está em curso o The Erdős discrepancy problem, no blogue do Professor Gowers, que já vai no seu quarto artigo sobre este problema. 

18.01.10: continuando no quinto.

20.01.10: E, em 19.01.10, o artigo EDP1 — the official start of Polymath5, no Gowers’s Weblog,  lança oficialmente o ataque ao The Erdős discrepancy problem.

2.03.10:  Com o título sugestivo EDP — a new and very promising approach prossegue a tentativa.

6.03.10: Um rascunho (draft) de Scott Morrison sobre o Math Overflow, publicado ontem, termina assim:

It is hard to explain Math Overflow without showing it to you, so please visit http://mathoverflow.net and poke around! If you have a question that’s been bothering you that you are pretty sure someone  must able to answer, try asking it. If you find the main page overwhelming, go to http://mathoverflow.net/tags and click on a tag corresponding to your specialty. Currently some areas of math are disproportionately represented, but just as with the arXiv, it is gradually “filling out” as it matures. We’d love to have mathematicians from more areas actively involved, and already you’re sure to find something you’re interested in.

[1] John Baez, Notices of the AMS, Febuary 2010 Volume 57 Issue 03 http://www.ams.org/notices/201003/rtx100300333p.pdf

[2] Secret blogging seminar, http://sbseminar.wordpress.com/

[3] Terry Tao’s blog, http://terrytao.wordpress.com/

[4] Gowers’ blog, http://gowers.wordpress.com/

[5] The nLab, http://ncatlab.org/nlab/show/HomePage

[6] Polymath project, http://polymathprojects.org/

[7] Shtetl-Optimized, “Prove my lemma, get acknowledged in a paper!”, http://scottaaronson.com/blog/?p=432

[8] F. Calegari, S. Morrison, N. Snyder, “Cyclotomic integers, fusion categories, and subfactors”, to appear.

[9] N. Snyder, “Number theoretic spectral properties of random graphs”, http://mathoverflow.net/questions/5994/.

[10] Mathoverflow database dumps, http://dumps.mathoverflow.net/ 

 

 

Dígitos de um número inteiro positivo na base factorial

Suscitado pela ideia do leitor António Ferrão, acrescentei o ponto 7 ao meu artigo a propósito de 123456. Por considerar que merece ser autonomizado, e para não alongar esse artigo, republico agora esse tema com adaptações de exposição. A parte principal deve-se a Jacques Glorieux.

Trata-se de saber como se pode decompor em factoriais o inteiro positivo n.

Uma possível decomposição é

n=f_k\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\dots+f_2\times 2!+f_1\times 1!

que é única, se se considerarem os maiores factoriais possíveis; uso a notação

(f_k,f_{k-1},\dots,f_2,f_1)_{k!}

para me referir à sucessão que a cada n faz corresponder os k inteiros obtidos por este método. Esta sucessão está registada na The On-line Encyclopedia of Integer Sequences com a identificação A108731 (autor: Frank Adams-Watters). Começa por

1,1,0,1,1,2,0,\dots,

visto que 1=(1)_{1!}, 2=(1,0)_{2!}, 3=(1,1)_{2!}, 4=(2,0)_{2!},\dots.

O desenvolvimento de n na forma indicada — que aparece no livro de Donald Knuth, The Art of Computer Programming, Vol II, p. 192, como me chamou a atenção António Ferrão — é, como disse, único.
\bigskip
Apresento a seguir uma tradução da demonstração de Jacques Glorieux da seguinte
\bigskip

Proposição. Seja n be um inteiro positivo. A decomposição

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1!\qquad (1)

é única se admitirmos que k!, (k-1)!,\dots têm os maiores valores possíveis, a começar por k! e continuando no sentido decrescente.

Demonstração. Baseia-se no teorema do qual depende o algoritmo da divisão, a saber:

Dados os inteiros a e b com b>0 existem dois únicos inteiros q e r, com 0\leq r<b tais que a=bq+r

Admitamos que k é o maior inteiro tal que k!\leq n.

Então se dividirmos n por k! e se designarmos o quociente por f_{k}, temos:

n=f_{k}\times k!+r_{k}, em que r_{k} designa o resto da divisão (0\leq r_{k}<k!)

Distinguimos dois casos:

1. r_{k}=0

Neste caso, n=f_{k}\times k!. O desenvolvimento de n indicado em (1) está certo e é único. Temos f_{k-1}=f_{k-2}=\dots =f_{1}=0

2.r_{k}>0

Neste caso, denotemos por m o menor inteiro tal que

(k-m-1)!\leq r_{k} (m=0,1,...,k-2)

Dividamos r_{k} por (k-m-1)! : temos

r_{k}=f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

(com 0\leq r_{k-m-1}<(k-m-1)!).

Assim n=f_{k}\times k!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

que se pode escrever

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\dots

\dots +f_{k-m}\times (k-m)!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

com f_{k-1}=\dots =f_{k-m}=0

Podemos prosseguir da mesma maneira até chegarmos a:

r_{2}=f_{1}\times 1!+r_{1} (tem-se r_1=0, uma vez que 0\leq r_{1}<1!).

Provámos desta forma que:

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1!

Esta decomposição de n é única, visto que os coeficientes f_{k} são determinados também de forma única pelo algoritmo da divisão. \qquad\square

No meu artigo “linkado” acima poderá ver também o texto em inglês.

Entre n,k e f_k verificam-se as seguinte relações, uma prova das quais se deve também a Jacques Glorieux:

0\leq f_k\leq k\leq k!\leq n<(k+1)!

Se algum leitor interessado conseguir estabelecer relações mais fortes do que estas, seria certamente útil para definir melhor o comportamento da sucessão.

Adenda de 6-3-2009

Uma interpretação informal poderá ser:

Vejamos o exemplo  123456=3×8!+3×6!+2×5!+4×4! .  123456 pode ter outras decomposições: por exemplo 

   123456=123456×1!

 Mas se nos restringirmos ao máximo factorial menor ou igual a 123456, encontramos  8!=40320 (9!= 362880>123456).

Agora subtraímos 8! de 123456:

    123456-8!= 83136

Prosseguimos de forma semelhante:

    83136-8!= 42816
    42816-8!= 2496
    2496-6!= 1776
    1776-6!= 1056
    1056-6!= 336
    336-5!= 216
    216-5!= 96
    96-4!= 72
    72-4!= 48
    48-4!= 24
    24-4!= 0

 Donde 123456=3×8!+3×6!+2×5!+4×4!.

 O caso geral é uma generalização deste procedimento. 

 É similar a 123456 na base 10

    123456-100000=23456

    23456-10000=13456
    13456-10000=3456
    3456-1000=2456
    2456-1000=1456
    1456-1000=456 

    456-100=356
    356-100=256
    256-100=156
    156-100=56

    56-10=46
    46-10=36
    36-10=26
    26-10=16
    16-10=6

    6-1=5
    5-1=4
    4-1=3
    3-1=2
    2-1=1
    1-1=0

 Donde 123456=1×100000+2×10000+3×1000+4×100+5×10+6×1.

[7-3-2009: corrigi erro na primeira decomposição, em resposta ao 1º. comentário] 
   

Triângulo como picture do LaTeX desenhado num blogue do WordPress

Na secção 5.2 de The Not So Short Introduction to LaTeX (tradução portuguesa) de Tobias Oetiker, Hubert Partl, Irene Hyna e Elisabeth Schlegl é descrito o ” Picture Environment” (p. 97) (“ambiente picture”, p. 90) . Daí 

\setlength{\unitlength}{0.8cm}

\begin{picture}(6,5)

    \thicklines

    \put(1,0.5){\line(2,1){3}}

    \put(4,2){\line(-2,1){2}}

    \put(2,3){\line(-2,-5){1}}

    \put(0.7,0.3){$A$}

    \put(4.05,1.9){$B$}

    \put(1.7,2.95){$C$}

    \put(3.1,2.5){$a$}

    \put(1.3,1.7){$b$}

    \put(2.5,1.05){$c$}

    \put(0.3,4){$F=

        \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$}

    \put(3.5,0.4){$\displaystyle

        s:=\frac{a+b+c}{2}$}

\end{picture}

adaptei o exemplo seguinte.

O  código LaTeX a seguir, escrito sem espaços para ser aceite correctamente pelo WordPress

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){A}\put(4.05,1.9){B}\put(1.7,2.95){C}\put(3.1,2.5){a}\put(1.3,1.7){b}\put(2.5,1.05){c}\end{picture}&fg=000000$

desenha o triângulo

\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){A}\put(4.05,1.9){B}\put(1.7,2.95){C}\put(3.1,2.5){a}\put(1.3,1.7){b}\put(2.5,1.05){c}\end{picture}

que tem o inconveniente das letras não estarem em itálico. Passando-as a itálico através de \textit, modifiquei o código  para

$\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){\textit{A}}\put(4.05,1.9){\textit{B}}\put(1.7,2.95){\textit{C}}\put(3.1,2.5){\textit{a}}\put(1.3,1.7){\textit{b}}\put(2.5,1.05){\textit{c}}\end{picture}&fg=000000$

simulando desta forma o que no picture environment se obtém com as letras escritas entre $ $, mas que aqui entra em conflito com a sintaxe reconhecida pelo WordPress, ficando

\setlength{\unitlength}{0.8cm}\begin{picture}(6,5)\put(1,0.5){\line(2,1){3}}\put(4,2){\line(-2,1){2}}\put(2,3){\line(-2,-5){1}}\put(0.7,0.3){\textit{A}}\put(4.05,1.9){\textit{B}}\put(1.7,2.95){\textit{C}}\put(3.1,2.5){\textit{a}}\put(1.3,1.7){\textit{b}}\put(2.5,1.05){\textit{c}}\end{picture}

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