## Exercícios algébricos simples de Combinatória

1. Diga se existe algum número natural menor que $10$ tal que:

$^{n\!}C_{n-2}=2^{n-2}-1.$

Justifique.

2. Prove que

$^{n\!}C_{k}=\dfrac{n-k+1}{k}\times ^{n\!}C_{k-1}$

3. Determine $n$ de modo a que se tenha

$^{n+3\!}C_{n}-^{n+2\!}C_{n-1}=15(n+1)$

4. Determine $n$ de modo a que se tenha

$^{n\!}C_{2}=136$

Resolução

A fórmula das combinações  $^{n\!}C_{k}$ é  $^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

1. Neste caso tem-se

$^{n\!}C_{n-2}=\dfrac{n!}{(n-2)!(n-(n-2))!}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

Então

$\dfrac{n(n-1)}{2}=2^{n-2}-1$

é  equivalente a

$n(n-1)=2^{n-1}-2\Leftrightarrow n^{2}-n=2^{n-1}-2\Leftrightarrow n^{2}=2^{n-1}-2+n$

Por tentativas chegamos à solução inteira $n=6$ (por sinal a  única). Os primeiros casos, começando em $n=9$ e continuando no sentido descendente são:

$9^{2}=81$ e $2^{9-1}-2+9=263$

$8^{2}=64$ e $2^{8-1}-2+8=134$

$7^{2}=49$ e $2^{7-1}-2+7=69$

que são valores diferentes. Mas

$6^{2}=36$ e $2^{6-1}-2+6=36$

$6^{2}=2^{6-1}-2+6=36$

Verificação:

$^{n\!}C_{n-2}=2^{n-2}-1$

$^{6\!}C_{6-2}=\dfrac{6(6-1)}{2}=15$

$2^{6-2}-1=15$

Os restantes, também diferentes, são

$5^{2}=25$ e $2^{5-1}-2+5=19$

$4^{2}=16$ e $2^{4-1}-2+4=10$

$3^{2}=9$ e $2^{3-1}-2+3=5$

$2^{2}=4$ e $2^{2-1}-2+2=2$

$1^{2}=1$ e $2^{1-1}-2+1=0$

2. Como

$^{n\!}C_{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$

e

$^{n\!}C_{k-1}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-(k-1)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}$

vem

$\dfrac{^{n\!}C_{k}}{^{n\!}C_{k-1}}=\dfrac{\dfrac{n!}{k!(n-k)!}}{\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}$

$=\dfrac{(k-1)!(n-k+1)(n-k)!}{k(k-1)!(n-k)!}=\dfrac{n-k+1}{k}$

Logo

$^{n\!}C_{k}=\dfrac{n-k+1}{k}\times ^{n\!}C_{k-1}$

3. Como

$^{n+3\!}C_{n}=\dfrac{(n+3)!}{n!(n+2-n)!}$

$=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2!}=\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2}$

e

$^{n+2\!}C_{n-1}=\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!(n+2-(n-1))!}=\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}$

$\dfrac{(n+3)(n+2)(n+1)}{2}-\dfrac{(n+2)(n+1)n}{6}=15(n+1)$

$3(n+3)(n+2)-(n+2)n=90$

$2n^{2}+13n-72=0$

As duas soluções  são:

$\dfrac{-13+\sqrt{745}}{4},\dfrac{-13-\sqrt{745}}{4}$

Como nenhuma é  inteira, não  tem solução  nos naturais, pelo que não  há  nenhum valor de $n$ que verifique a condição indicada.

4.  Como

$^{n\!}C_{2}=\dfrac{n!}{2!(n-2)!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2\times 1\times (n-2)!}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

e

$\dfrac{n(n-1)}{2}=136$

$\Leftrightarrow n(n-1)=2\times 136\Leftrightarrow n(n-1)=272\Leftrightarrow n^{2}-n-272=0$

A solução  positiva é

$n=\dfrac{1+\sqrt{1+4\times 272}}{2}=17$

A negativa exclui-se por esse facto.

Verificação:

$^{17\!}C_{2}=\dfrac{17\times 16}{2}=136$.

Observação de 1-3-2009: comentário suprimido.

Nota de 15-3-2008: nesta entrada pode ver um problema de nível um pouco mais avançado que prolonga o exercício 1 a todos os naturais, aproveitando o 1º. comentário.

## Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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### 3 respostas a Exercícios algébricos simples de Combinatória

1. Problem 1: We can, in fact, extend the problem statement to find all $n \in \mathbb{N}$ such that the given equation is satisfied. And, our answer would still be the same, i.e. $n = 6$ is the only solution. Here’s why.

As you showed, the equation given in the problem is equivalent to the equation $n^2 = 2^{n-1} + n - 2$. Now, using a simple induction, it can be shown that $2^{n-1} > n^2$ and $n - 2 > 0$ for all $n \geq 7$. (Well, the second one doesn’t really require an inductive proof!) So, the right hand side of the above equation is strictly greater than the left hand side for all $n \geq 7$! After that, it is only a matter of checking the individual cases from $n=1$ to $n=6$. And, as you verified, $n = 6$ is the only solution, and we are done!

• Thanks for your proof of the generalization.

I solved the original problem as was stated to me. All these problems were taken from previous exam(s) for candidates to a University, as far as I know.

A translation into English of the title of this post can be, I think, “Easy algebraic exercises in Combinatorics”

2. Daúdo diz:

I just want to thank for the comments you use to publish for better understanding of the exercise given. Thanks, all of you. Keep doing that!