Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

123456 

A propósito do número de visitas deste blogue — o contador do WordPress passou hoje por 123456 — lembrei-me de  ver se descobria algo de interessante nele. Por exemplo:

1 – Quantos divisores admite?

Para respondermos a esta questão sem os indicar explicitamente, podemos recorrer a um teorema da aritmética racional (ou teoria dos números) cujo enunciado é:

O número de divisores do  inteiro n é a função aritmética d(n) cuja expressão analítica é 

d(n)=(e_1+1)(e_2+1)\cdots (e_k+1)

em que e_1,e_2,\dots , e_k são os expoentes da decomposição factorial em números primos de n

n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}

Então, como

123456=2^6\times 3\times 643

o número de divisores de 123456 é

d(123456)=(6+1)(1+1)(1+1)=28

2 – Como se escreve na base 6?

Como

123456=0+2\times 6+3\times 6^2+1\times 6^3+5\times 6^4+3\times 6^5+2\times 6^6

 tem-se

(2351320)_6=(123456)_{10}

Penso acrescentar mais exemplos, no futuro, aqui. São quase 23h30m e pretendo “postar” ainda hoje.

(Continuação, 23-2-2009)

3 – Quais são os maiores números de Fibonacci de que é soma?
 Ora, como
123456=121393+1597+377+55+21+13

=x_{26}+x_{17}+x_{14}+x_{10}+x_{8}+x_{7}

em que

x_{n}=\dfrac{\left( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}-\left( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}{\sqrt{5}}

é o número de Fibonacci de ordem n, os números são precisamente x_{26},x_{17},x_{14},x_{10},x_{8},x_{7}.

4 – Em quantos modos diferentes se pode decompor num produto de factores primos ente si?

Atendendo a que há 3 potências (2^6,3,643)  na sua decomposição em primos, a resposta é 2^{3-1}=4, e que são:

123456=1\times 123456

123456=2^6\times (3\times 643)=64\times 1929

123456=(2^6\times 3)\times 643)=192\times 643

123456=(2^6\times 643)\times 3=41152\times 3

(Continuação, 24-2-2009)

5 – Qual é o resto da divisão inteira do seu cubo por 7?

Sem fazer a conta na calculadora, podemos utilizar propriedades das congruências, para chegar ao resultado.

Notação e definição: a\equiv b\; (\mod m) , que se lê a é congruente com b para o módulo m, significa que a-b é  um múltiplo de m (com a,b,c inteiros).

Ora, 64\times 1929=123456, 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) e 1929\equiv 4\;\left( \mod 7\right) . Pela propriedade da relação de congruência que diz que

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv d\;\left( \mod m\right) , então ac\equiv bd\;\left( \mod m\right)

 vem

123456= 64\times 1929\equiv 1\times 4\;\left( \mod 7\right) =4\;\left( \mod 7\right)

e por outra propriedade, a que diz que

se a\equiv b\;\left( \mod m\right) , então a^{n}\equiv b^{n}\;\left( \mod m\right)

 tem-se

123456^{3}\equiv 4^{3}\;\left( \mod 7\right) =64\;\left( \mod 7\right)

E como 64\equiv 1\;\left( \mod 7\right) , pela propriedade transitiva da relação de congruência

 se a\equiv b\;\left( \mod m\right) e b\equiv c\;\left( \mod m\right) , então a\equiv c\;\left( \mod m\right)

 conclui-se que

  123456^{3}\equiv 1\;\left( \mod 7\right)

 pelo que o resto é  1.

(Continuação, 25-2-2009)

6 – Qual é a soma dos seus divisores?

Sabendo-se a factorização em primos de um número n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}  a soma dos seus divisores é dada por

\dfrac{p_{1}^{^{e_{1}+1}}-1}{p_{i}-1}\times \dfrac{p_{2}^{e_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\times \cdots \times \dfrac{p_{k}^{e_{k}+1}-1}{p_{k}-1}

No caso de 123456=2^{6}\times 3\times 643 será

\dfrac{2^{7}-1}{1}\times \dfrac{3^{2}-1}{2}\times \dfrac{643^{2}-1}{642}=327152

Adenda de 2-3-2009

7 – Como se pode decompor em factoriais?

(ver 1º. comentário)

Uma possível decomposição é

3\times 8!+3\times 6!+2\times 5!+4\times 4!

que é única, se se considerar os maiores factoriais possíveis; e que designo  aqui por brincadeira pela  notação

123456=(3,0,3,2,4,0,0,0)_{8!,7!,6!,5!,4!,3!,2!,1!}

e em geral, o inteiro positivo

n=f_k\times k!+f_{k-1}!\times f_{k-1}!+\dots+f_2\times 2!+f_1\times 1!

por

(f_k,f_{k-1},\dots,f_2,f_1)_{k!,(k-1)!,\dots,2!,1!}

ou abreviadamente e talvez melhor por [acrescentado em 3-3-2009]

(f_k,f_{k-1},\dots,f_2,f_1)_{k!}

Será que já existe na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences a sucessão que a cada n faz corresponder os k inteiros obtidos por este método? [Sim, ver A108731 ]. E haverá alguma relação especial entre n,k e f_k?

Esta sucessão começaria assim

1,1,0,1,1,2,0,\dots,3,0,3,2,4,0,0,0,\dots

visto que

1=(1)_{1!}, 2=(1,0)_{2!,1!}, 3=(1,1)_{2!,1!}, 4=(2,0)_{2!,1!}, \dots
\bigskip 
Adenda de 4-3-2009
\bigskip
O desenvolvimento de n na forma indicada é único. Apresento a seguir uma tradução da demonstração de Jacques Glorieux, da seguinte proposição, traduzida da minha original. Acrescento, no fim, cópia das originais, em inglês. [texto editado em 5-3-2009]
\bigskip

Proposição. Seja  n be um inteiro positivo. A decomposição

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1!\qquad (1) 

é  única se admitirmos que  k!, (k-1)!,\dots têm os maiores valores possíveis, a começar por k! e continuando no sentido decrescente.

Demonstração de Jacques Glorieux . Baseia-se no teorema do qual depende o algoritmo da divisão, a saber:

Dados os inteiros a e b  com b>0  existem dois únicos inteiros q e r, com 0\leq r<b tais que a=bq+r

Admitamos que k é o maior inteiro tal que k!\leq n.

Então se dividirmos n por k! e se designarmos o quociente por f_{k}, temos:

n=f_{k}\times k!+r_{k}, em que r_{k} designa o resto da divisão (0\leq r_{k}<k!)

Distinguimos dois casos:

1. r_{k}=0

Neste caso, n=f_{k}\times k!. O desenvolvimento de n indicado em (1) está certo e é  único. Temos f_{k-1}=f_{k-2}=\dots =f_{1}=0

2.r_{k}>0

Neste caso, denotemos por m o menor inteiro tal que

 (k-m-1)!\leq r_{k}  (m=0,1,...,k-2)

Dividamos r_{k} por (k-m-1)! : temos

r_{k}=f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

 (com 0\leq r_{k-m-1}<(k-m-1)!).

Assim n=f_{k}\times k!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

que se pode escrever

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\dots

\dots +f_{k-m}\times (k-m)!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

 com f_{k-1}=\dots =f_{k-m}=0

Podemos prosseguir da mesma maneira até chegarmos a:

r_{2}=f_{1}\times 1!+r_{1} (tem-se r_1=0, uma vez que 0\leq r_{1}<1!).

Provámos desta forma que:

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1!

Esta decomposição de n é  única, visto que os coeficientes f_{k} são determinados também de forma única pelo algoritmo da divisão. \qquad\square

\bigskip

Copy of the original

 Let  n be a positive integer. Its expansion

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1! 

is unique if we suppose that k!, (k-1)!,\dots have the greatest possible values, starting from k! and descending.

Proof by Jacques Glorieux. It is based on the theorem on which relies the division algorithm, namely:

“Given integers a and b with b>0, there exists unique integers q and r, with 0\leq r<b such that a=bq+r

Let us assume that k is the greatest integer such that k!\leq n.

Then if we divide n by k! and if we note the quotient by f_{k}, we have :

n=f_{k}\times k!+r_{k}, where r_{k} denotes the remainder of the division

(0\leq r_{k}<k!)

We distinguish two cases :

1. r_{k}=0

In this case, n=f_{k}\times k!,  and the proposed expansion of n is correct and unique. We have f_{k-1}=f_{k-2}=\dots =f_{1}=0

2.r_{k}>0

In this case, let’s call m the smallest integer such that

(k-m-1)!\leq r_{k}   (m=0,1,...,k-2)

Let us divide r_{k} by (k-m-1)! :

we have

r_{k}=f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

 (with 0\leq r_{k-m-1}<(k-m-1)!).

Thus n=f_{k}\times k!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

It can be written

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\dots

\dots +f_{k-m}\times (k-m)!+f_{k-m-1}\times (k-m-1)!+r_{k-m-1}

 with f_{k-1}=\dots =f_{k-m}=0

We can pursue this process up to the time we reach:

r_{2}=f_{1}\times 1!+r_{1} (we have r_1=0 since 0\leq r_{1}<1!).

We have thus proven that :

n=f_{k}\times k!+f_{k-1}\times (k-1)!+\cdots +f_{2}\times 2!+f_{1}\times 1!

This decomposition of n is unique since the coefficients f_{k} are uniquely determined by the division algorithm.

\bigskip

NOTA de 5-3-2009: publiquei este ponto 7, em entrada de hoje, numa forma adaptada.

Adenda de 24-4-2009

 8 – Qual o 123456.º número da forma 2^n-n^2 que é divisível por 7  ?

É  o inteiro 2^{432090}-432090^2

Esboço de justificação: Os termos da forma u_{n}=2^n-n^2 são divisíveis por 7 para n=2,4,5,6,10,15. Os restos da divisão por 7 formam uma sucessão periódica de comprimento igual a 21 com início em 1. Então, como 21\times\left\lfloor 123456/6\right\rfloor =432096 e em cada grupo de 21 números inteiros a partir de 1 o de ordem 15=21-6 é o maior que divide 2^n-n^2  por 7n=432096-6=432090 é o inteiro pretendido.

:  :  :  :  :

Podem colaborar com outras propriedades aritméticas  ou simples curiosidades numéricas associadas ao 123456.

Nenhuma destas propriedades é exclusiva deste número. O interessante seria encontrar alguma que o desse como resultado, em vez de ponto de partida!

Actualização de 25 e 27-2-2009: alterei o nome

Adenda de 2-3-2009: propriedade 7

Adenda de 4-3-2009: demonstração da proposição [reformulado enunciado, em 5-3-2009, para corresponder mais fielmente ao original]

Actualização de 5-3-2009: incluída identificação da entrada  A108731  da enciclopédia referida.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Blogue, Estatísticas, Exercícios Matemáticos, Fibonacci, Matemática, Teoria dos Números com as etiquetas , , . ligação permanente.

2 respostas a Propriedades aritméticas ilustradas por 123456. Será um número interessante?

  1. Américo
    Isto é só uma sugestão, já que entre as decomposições foi usada a “base” de Fibonacci. Qual a decomposição de 123456 em números factoriais?
    Um abraço

Deixe uma Resposta

Preencha os seus detalhes abaixo ou clique num ícone para iniciar sessão:

Logótipo da WordPress.com

Está a comentar usando a sua conta WordPress.com Terminar Sessão / Alterar )

Imagem do Twitter

Está a comentar usando a sua conta Twitter Terminar Sessão / Alterar )

Facebook photo

Está a comentar usando a sua conta Facebook Terminar Sessão / Alterar )

Google+ photo

Está a comentar usando a sua conta Google+ Terminar Sessão / Alterar )

Connecting to %s