Exercício rotineiro, mas trabalhoso, sobre extremos (máximos e mínimos) de uma função trigonométrica

A – Determine os valores máximos e mínimos assumidos pela função  trigonométrica periódica

 f(t)=\left( \cos t+2\sin t\right) ^{2}+\left( 3\cos t+2\sin t\right) ^{2},

 representada no gráfico, no intervalo \left[ -\pi ,\pi \right] .

ftextremos

Passos de uma possível resolução:

1 – Desenvolver f(t) e obter f(t)=16\cos t\sin t+10\cos^{2}t+8\sin^{2}t.

2 – Calcular a derivada de f(t)f^{\prime}(t)=16\cos 2t-2\sin 2t.

3 – Resolver a equação f^{\prime}(t)=0 e obter as soluções

  t\in\left\{ \dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{k\pi }{2}:k\in\mathbb{Z}\right\} .

4 – Observar o andamento da função  no gráfico ou, em alternativa, estudar a variação de sinal da derivada da função.

5 – Concluir que o seu máximo é  f\left( t_{\max }\right) e o mínimo f\left( t_{\min }\right) , em que

t_{\max }=\dfrac{\arctan 8}{2}+k\pi

 e

 t_{\min }=\dfrac{\arctan 8}{2}+\dfrac{\pi }{2}+k\pi .

B – Indique qual é o período da função f. Justifique.

Eis a tradução da resposta e sua  justificação por Jacques Glorieux relativa à parte  B.

« O período é \pi.

Tem-se \cos \left( t+\pi \right) +2\sin \left( t+\pi \right) =-\cos \left( t\right) -2\sin \left( t\right) . Quadrando ambos os membros, vê-se que \left( \cos \left( t\right) +2\sin \left( t\right) \right) ^{2} tem período \pi .

O mesmo raciocínio aplica-se a \left( 3\cos \left( t\right) +2\sin \left( t\right) \right) ^{2}. Assim, f(t) é a soma de duas funções  periódicas de período \pi , e por isso também é periódica, sendo o seu período igual a \pi

Actualização de 20-2-2009: acrescentada a resposta a B.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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