Outro exercício de cálculo financeiro: série uniforme e recuperação de capital

Publicado em 30 de Janeiro de 2009 por Américo Tavares

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Foram emprestadas 100 000 unidades monetárias à taxa de juro (nominal anual) de 7% capitalizada semestralmente. O reembolso será feito semestralmente, em capital e juros, durante 30 anos.

Qual a parte da dívida  que falta pagar ao fim de 10 anos?

No caso geral, teremos de  calcular o valor dos pagamentos constantes A dado o valor do capital principal P.

Durante n períodos, neste caso semestrais, são pagos A unidades monetárias em cada. O valor A do período k equivale ao valor presente de  \dfrac{A}{(1+i)^k} unidades monetárias, em que i é a taxa de juro em cada período de capitalização. Se somarmos em k, de 1 a n, obtemos o somatório

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{A}{(1+i)^k}.

Como noutros casos anteriores de cálculo financeiro já expostos, deparamo-nos com a soma de uma progressão geométrica, neste caso de razão c=\dfrac{1}{1+i} e primeiro termo u_1=\dfrac{A}{1+i}:

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1}=\dfrac{A}{1+i}\dfrac{\left( \dfrac{1}{1+i}\right) ^n-1}{ \dfrac{1}{1+i} -1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

Esta soma há-de naturalmente ser igual a P:

P=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i(1+i)^n}

donde

A=P\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}

Regressando ao exemplo, o reembolso é feito em n=60 semestres, sendo a taxa i=7/2\% e P=100\;000, pelo que

A=100\;000\dfrac{0,035(1,035)^{60}}{(1,035)^{60}-1}=4009 unidades monetárias.

O valor do empréstimo ao fim de 20 semestres é

100\;000\times(1+0,035)^{20}=198\;979 unidades monetárias

As rendas pagas ao fim de 20 semestres correspondem ao valor futuro F da série de pagamentos semestrais A , no fim do período 20. Como vimos na formação de capital

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}

ou

F=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}

ou seja, neste caso

F=4009\times\dfrac{1,035^{20}-1}{0,035}=113\;373 unidades monetárias.

A dívida que falta pagar ao fim de 10 anos é então

198\;979-113\;373=85\;605 unidades monetárias.

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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