Problema sobre identidades trigonométricas

Mostre que as duas identidades trigonométricas seguintes são verdadeiras no primeiro quadrante:

1.

\arctan\left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u

2.

\arctan\left( \dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }\right) =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta\right)

Notação usada

\arctan x é a função trigonométrica inversa arco cuja tangente é x

\arcsin x é a função trigonométrica inversa arco cujo seno é x

\sin x é a função trigonométrica seno de x

\tan x é a função trigonométrica tangente de x

3-1-2009: justificação da 1.ª identidade 

1.ª identidade 

A substituição indicada no primeiro comentário ( u=\sin\vartheta ) por António Ferrão transforma o primeiro membro da identidade em

\arctan \left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arctan \left( \dfrac{\sin\vartheta }{\sqrt{1-\sin ^{2}\vartheta }}\right) =\arctan \left( \dfrac{\sin \vartheta }{\sqrt{\cos ^{2}\vartheta }}\right)

=\arctan\left( \dfrac{ \sin\vartheta}{ \pm\cos\vartheta }\right)   =\arctan \left( \pm\tan\vartheta \right) =\pm\vartheta

e o segundo em

\arcsin u=\arcsin \left( \sin \vartheta \right) =\vartheta

No primeiro quadrante, o \sin e a \tan têm o mesmo sinal e o ângulo \vartheta \in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2}\right] . Assim, no primeiro quadrante

\arctan \left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\vartheta

e

\arcsin u=\vartheta .

Logo, efectivamente

\arctan \left( \dfrac{u}{\sqrt{1-u^{2}}}\right) =\arcsin u \blacktriangleleft

Nota: usada em Série telescópica irracional e trigonométrica

26-5-2009: justificação da 2.ª identidade

2.ª identidade

A identidade

\arctan\left( \dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }\right) =\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi }{2}-\theta\right)

é equivalente a

\tan\left( \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{\pi}{2}-\theta\right) \right) =\dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta }

Fazendo a substituição

\alpha =\dfrac{\pi}{2}-\theta

tem-se

\dfrac{\cos\theta }{1+\sin \theta } =\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }

e a identidade que pretendemos demonstrar transforma-se em

\tan\left( \dfrac{\alpha}{2}\right) =\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }

Mas, como

\sin\alpha=2\sin\left(\dfrac{a}{2}\right) \cdot\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)

e

1+\cos\alpha=1+\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) -\sin^2\left(\dfrac{a}{2}\right) =2\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) .

tem-se de facto

\dfrac{\sin\alpha }{1+\cos \alpha }=\dfrac{2\sin\left(\dfrac{a}{2}\right) \cdot\cos\left(\dfrac{a}{2}\right)}{2\cos^2\left(\dfrac{a}{2}\right) }=\tan\left( \dfrac{\alpha}{2}\right)

o que justifica a identidade que lhe é equivalente. \blacktriangleleft

Edição de 26-5-2005: alterado título (era “Problema difícil não resolvido sobre Trigonometria) em resultado de ter acrescentado as justificações.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Problema sobre identidades trigonométricas

  1. Sugestão para a primeira identidade: \displaystyle{u=\sin\vartheta}

  2. António,

    A sua substituição é perfeita (e natural, para quem tem experiência). Acrescentei ao post a dedução detalhada da primeira identidade por este método.

    Quando classifiquei este problema como difícil estava a pensar no âmbito do Secundário. Foi nessa categoria que o inseri.

  3. Américo
    Foi só uma sugestão…

    [António: mas boa, considero eu
    Américo]

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