Integração pelo método de diferenciação em relação a um parâmetro

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Nesta minha entrada  referi o método da diferenciação sob o sinal de integral exposto no post de Todd and Vishal’s blog nela indicado.  Este método é  também conhecido pelo nome acima. Em que consiste? Generaliza-se o integral que se pretende calcular usando um parâmetro, sendo o integral original obtido para um valor particular desse parâmetro.

No caso do integral aí calculado

\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx

a generalização através do parâmetro t que é aconselhada no post mencionado (e na Wikipedia e  em INTEGRATION: THE FEYNMAN WAY ) é:

I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\arctan \left( t\tan x\right) }{\tan x}dx

da qual o integral original é o valor particular

I(1)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{x}{\tan x}dx

Para aplicar este método é  necessário que a função integranda e a sua derivada parcial em relação ao parâmetro sejam contínuas no intervalo de integração, quer no que diz respeito à  varável de integração x quer ao parâmetro t ; neste caso são-no:

\dfrac{\partial }{\partial t}\dfrac{\arctan \left( t\tan x\right) }{\tan x}=\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}.

Depois de se ter diferenciado sob o sinal de integral, obtém-se a derivada do integral em relação ao parâmetro, calculando o integral da nova função integranda, a que se acabou de determinar:

\dfrac{d}{dt}I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\partial }{\partial t}\dfrac{\arctan\left( t\tan x\right) }{\tan x}dt

O objectivo é tentar obter um integral simples! Continuando, vem

\displaystyle\dfrac{d}{dt}I(t)=\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}dx

Fazendo a substituição  recomendada por Todd Trimble x=\arctan u transforma-se este integral noutro

\dfrac{d}{dt}I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{1}{t^{2}\tan ^{2}x+1}dx=\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}du

que é integrável pelo método das fracções parciais:

\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}=\dfrac{t}{t^{2}-1}\dfrac{t}{t^{2}u^{2}+1}-\dfrac{1}{t^{2}-1}\dfrac{1}{u^{2}+1}.

obtendo-se

\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{t^{2}u^{2}+1}\dfrac{1}{u^{2}+1}du

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\displaystyle\int_{0}^{\infty }\dfrac{t}{t^{2}u^{2}+1}du -\dfrac{1}{t^{2}-1}\int_{0}^{\infty }\dfrac{1}{u^{2}+1}du

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\left. \arctan \left( tu\right) \right\vert _{0}^{\infty}-\dfrac{1}{t^{2}-1}\left. \arctan \left( u\right) \right\vert _{0}^{\infty }

=\dfrac{t}{t^{2}-1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right) -\dfrac{1}{t^{2}-1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right)

=\dfrac{1}{t+1}\left( \dfrac{\pi }{2}\right)

Por fim, integra-se em relação ao parâmetro t

I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right) +C

e calcula-se a constante de integração através de outro valor particular do integral; como

I(0)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\arctan \left( 0\tan x\right) }{\tan x}dx=0

tem-se

\dfrac{\pi }{2}\ln \left( 1\right) +C=0

donde C=0 e o integral paramétrico é

I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right)

pelo que o integral original é igual a

I(1)=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( 1+1\right) =\dfrac{\pi }{2}\ln 2.

Correcção de 6-12-2008: no integral I(0)

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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6 respostas a Integração pelo método de diferenciação em relação a um parâmetro

  1. Man Utd diz:

    Américo por que sempre devemos calcular o valor da constante C ?
    att e abraço

    • A constante deve ser determinada por forma a respeitar as condições existentes em cada caso. Neste, o integral I(t), pela forma que foi escolhida

      I(t)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\dfrac{\arctan \left( t\tan x\right) }{\tan x}dx\qquad (\ast).

      deve anular-se para t=0, o que leva a que a constante seja também nula. Dito de outra forma, da família de integrais

      I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right) +C

      apenas

      I(t)=\displaystyle\int \dfrac{\pi }{2\left( t+1\right) }\; dt=\dfrac{\pi }{2}\ln \left( t+1\right)

      satisfaz (\ast).

      A situação mais habitual, porém, é o integral ter de respeitar determinadas condições iniciais que vão definir o valor da constante de integração.

      Obrigado pelo seu comentário. Bom 2014!

  2. Ítalo diz:

    Jogada de mestre! rs
    Abraço.

  3. Afonso diz:

    Ola, Americo. No final da integracao por fracoes parciais, voce faz uma divisao permitida apenas quando t diferente de 1. Porem, depois voce utiliza I(1) na ultima linha. Isto pode ser feito sem maiores problemas?

    • Caro Afonso, a sua questão é interessante mas penso que não invalida o cálculo porque, embora I'(t) não exista no ponto t=1, isso não implica que o integral I(t) não exista nesse ponto. Note que o limite de I'(t) é finito em t=1.

  4. Afonso diz:

    Toda a razao, Americo. Obrigado.

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