Tangente à elipse

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Seja f\left( x\right) uma função real e f^{\prime }\left( x\right) a sua derivada. É bem sabido que a recta tangente ao gráfico da curva y=f\left( x\right) no ponto de coordenadas \left( x_{0},y_{0}\right) tem como coeficiente angular y_{0}^{\prime }=f^{\prime}\left( x_{0}\right) , sendo, portando, a sua equação da forma y=f^{\prime }\left( x_{0}\right) x+b. O facto de passar por \left( x_{0},y_{0}\right) permite determinar b

b=y_{0}-f^{\prime}\left( x_{0}\right) x_{0}

pelo que a equação da recta tangente é então

y=f^{\prime}\left( x_{0}\right) x+y_{0}-f^{\prime }\left( x_{0}\right) x_{0}

y=y_{0}^{\prime}x+y_{0}-y_{0}^{\prime}x_{0}.

 

Suponha o leitor que tem uma elipse centrada na origem e de semi-eixos maior e menor a>0 e b>0

\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Para achar a equação da tangente à  elipse em \left( x_{0},y_{0}\right) , portanto

\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1,

podemos começar por exprimir y em função de x

y=\left\{\begin{array}{c}f(x)=+b\left( 1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right) ^{1/2}\qquad\text{se }y>0\\g(x)=-b\left( 1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right) ^{1/2}\qquad\text{se }y<0\end{array}\right.

e determinar a sua derivada. Na parte superior da elise (y>0) tem-se

y^{\prime }=f^{\prime }(x)=-\dfrac{bx}{a^{2}}\left( 1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right) ^{-1/2}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}

e no ponto \left( x_{0},y_{0}\right)

y_{0}^{\prime }=f^{\prime }(x_{0})=-\dfrac{bx_{0}}{a^{2}}\left( 1-\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\right) ^{-1/2}=-\dfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}

Na inferior (y<0), em que g\left( x\right) =-f\left( x\right) e y_{0} é simétrico em relação ao eixo dos x ao correspondente ponto da metade superior, passa a ser respectivamente

y^{\prime }=-f^{\prime }(x)=\dfrac{bx}{a^{2}}\left( 1-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}\right) ^{-1/2}=-\dfrac{b^{2}x}{a^{2}y}

e

y_{0}^{\prime }=-f^{\prime }(x_{0})=\dfrac{bx_{0}}{a^{2}}\left( 1-\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{2}}\right) ^{-1/2}=-\dfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}

 

Assim, a equação da tangente é

y=y_{0}^{\prime }x+y_{0}-y_{0}^{\prime }x_{0}= -\dfrac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}x+y_{0}+\dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}y_{0}} =-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\dfrac{x_{0}}{y_{0}}x+\dfrac{b^{2}}{y_{0}}

dado que da equação da elise se deduz

y_{0}+\dfrac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}y_{0}}=\dfrac{b^{2}}{y_{0}}.

Se \theta for o ângulo usado em coordenadas polares entre a recta que passa pela origem \left( 0,0\right) e pelo ponto genérico da elipse \left( x,y\right) e o eixo dos x, a relação com as coordenadas cartesianas  é \left( x,y\right) =\left( a\cos \theta ,b\sin \theta\right) ; se \theta _{0} for o ângulo no ponto de tangência, então \left( x_{0},y_{0}\right) =\left( a\cos \theta _{0},b\sin \theta _{0}\right) . Substituindo na equação da recta tangente

y=-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\dfrac{x_{0}}{y_{0}}x+\dfrac{b^{2}}{y_{0}}

após algumas manipulações chega-se a

\dfrac{\cos \theta _{0}}{a}x+\dfrac{\sin \theta _{0}}{b}y=1.

[7-11-2008: correcção do sinal  relativo à metade inferior da elipse]

[1-12-2008: corrigido pdf]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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