Versão portuguesa da minha resolução do Problem Of the Week-9 [Todd and Vishal’s blog]: Período de uma dízima

pdf: ver caderno

A resolução do Problema a seguir enunciado foi aceite.

Find the length of the period of the repeating decimal representation of \dfrac{1}{65537} , ou seja, determine o comprimento do período da dízima [infinita] de  \dfrac{1}{65537}.

Eis a minha Resolução traduzida:

A dízima que representa o número  1/65537 é

\dfrac{1}{65537}=0.\overset{65536\text{ d\'igitos}}{\overline{000\,015\,258\,556\ldots cba}}\quad.

Seja  p um número primo. O período da dízima decimal de  1/p é igual à ordem de 10 (\mod p\; ) e é ou p-1 ou um seu divisor. Uma vez que  65537 é um número primo, o período da representação em dízima decimal  periódica de 1/65537 é, pois, ou 65536 ou um divisor de 65536=2^{16}. Estes divisores são

k=2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},\ldots ,2^{16}.

Por definição de ordem de 10 (\mod 65537\; ), tenho de determinar o menor destes k=2^{m} tal que

10^{k}\equiv 1\; (\mod 65537),

o que quer dizer que (10^{(2^{m})}-1)/65537 terá de ser inteiro.

Dado que

10-1<10^{2}-1<10^{3}-1<10^{4}-1<65537,

os restantes casos são os de m=3,4,\ldots ,16. Destes verifiquei em  PARI  que apenas

\dfrac{10^{65536}-1}{65537}=669179\ldots 526527

é inteiro. Por exemplo,

\dfrac{10^{16}-1}{65537}=\dfrac{999999999999999}{65537}\notin\mathbb{Z}.

Conclusão. O comprimento do período da dízima que representa  \dfrac{1}{65537} é 65536.  \qquad \blacktriangleleft

Um dos autores deste excelente blogue de matemática de nível avançado publicou a  resolução muito mais sofisticada e elegante apresentada por by Philipp Lampe.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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