Uma transformação — inversão complexa — de uma circunferência

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Podemos perguntar: se tivermos, no plano complexo z, um círculo centrado na origem (z_{0}=0) de raio igual a r, aplicando a transformação w=\dfrac{1}{z} o que é que passaremos a ter, no plano complexo w?

A equação do círculo é \left\vert z\right\vert \leq r. A circunferência \left\vert z\right\vert =r transforma-se em \left\vert w\right\vert =\dfrac{1}{\left\vert z\right\vert }=\dfrac{1}{r}, ou seja, outra circunferência centrada na origem do plano w e de raio R=\dfrac{1}{r}. Assim, o conjunto A=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z\right\vert \leq r\right\} é transformado no conjunto B=\left\{ w\in\mathbb{C}:\left\vert w\right\vert \geq R\right\} , isto é, todo o plano w com exclusão do interior do círculo \left\vert w\right\vert <R.

Admita agora o leitor que tem, no plano z, outra circunferência com o mesmo raio r, mas centrada em z_{0}=x_{0}+i0=r. Então \left\vert z-z_{0}\right\vert =\left\vert z-r\right\vert =r e a mesma transformação de inversão w=\dfrac{1}{z}, traduz-se, no plano w, por \left\vert \dfrac{1}{w}-r\right\vert =r.

Resta saber qual é o lugar geométrico C=\left\{ w\in\mathbb{C}:\left\vert \dfrac{1}{w}-r\right\vert =r\right\} .

O leitor que assim entenda poderá tentar ver qual é.

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Para quem esteja interessado na solução mas tenha alguma dúvida, apresento, de seguida, uma possível resolução.

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Resolução

Admita que z percorre a circunferência \left\vert z-r\right\vert =r no sentido directo, partindo da origem, passa pelos pontos situados no semi-plano \text{Im}z<0, cruza o eixo real em 2r e continua pelo semi-plano \text{Im}z>0 até atingir novamente a origem.

Vamos ver que w percorre a recta w=1/2r+i0 no sentido do semi-plano superior para o semi-plano inferior.

Quando z=x+iy descreve \left\vert z-r\right\vert =r, \left( x-r\right) ^{2}+y^{2}=r^{2} donde x^{2}+y^{2}=2rx.

Como

 w=\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{x+iy}=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}=u+iv,

 então

 u=\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}=\dfrac{x}{2rx}=\dfrac{1}{2r}

 e

 v=-\dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}=-\dfrac{y}{2rx}=-\dfrac{y}{2rx} 

 w=\dfrac{1}{2r}-i\dfrac{y}{2rx}

que é a equação de uma recta situada no plano complexo w com parte real igual a \dfrac{1}{2r}. Para \text{ Re}z\times\text{ Im}z<0, \dfrac{y}{x}<0, donde v>0; se y=0, então \dfrac{y}{x}=0 e para \text{ Re}z\times\text{ Im}z>0 \dfrac{y}{x}>0, pelo que v<0. Por outro lado \left\vert\dfrac{y}{x}\right\vert\rightarrow\infty quando x tende para 0.\quad\blacktriangleleft

ADENDA DE 2-10-2008: vídeo sugerido por António Ferrão, no comentário 1, a propósito desta entrada:

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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3 respostas a Uma transformação — inversão complexa — de uma circunferência

  1. Caro Américo Tavares:
    A transformação bilinear do plano complexo foi objecto de uma animação feita por Douglas Arnold e Jonathan Rogness, da Universidade de Minnesota, que vale a pena ver: Moebius Transformations Revealed.

  2. Caro António Ferrão:

    Obrigado pelo seu link. Não conhecia o vídeo. Vou vê-lo com atenção e acrescentá-lo aos meus vídeos de e sobre matemática. (*)

    Para informar os leitores que desconheçam, no plano complexo trata-se da transformação

    w=\dfrac{az+b}{cz+d}.

    O exemplo que apresento é um caso particular.

    No livro de 1966 “Exercícios de Matemáticas Gerais III”, de Raimundo Fernandes e Reimão Ferrão chama-se transformação homográfica (p. 20).

    Nota: esta transformação faz parte das chamadas transformações (aplicações) conformes, que preservam, em amplitude e sentido, o ângulo entre as tangentes a duas quaisquer curvas diferenciáveis, tangentes essas traçadas no ponto de intersecção das curvas.

    (*) Editado em 4-10-2008.

  3. Américo Tavares
    Nesse vídeo, encontrei a única aplicação que conheço da esfera de Riemann (tal como vem definida no “Complex Variable” da Shaum).
    Um abraço

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