Duas equações equivalentes da circunferência no plano complexo

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No final deverá ficar claro que o conjunto

 \left\{ z\in\mathbb{C}:z\overline{z}+z\left( 1-i\right) -\left( 1+i\right) \overline{z}-2=0\right\}

define no plano complexo uma circunferência de centro 1+i e raio igual a 2.

No plano complexo o conjunto

 A=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z-z_{0}\right\vert =r\right\}

representa, como bem se sabe, a circunferência de centro em z_{0} e de raio igual a r\in\mathbb{R}.

É possível representar a mesma circunferência por outra relação equivalente, que é uma generalização da equivalência entre \left\vert z\right\vert =r e z\overline{z}-r^{2}=0. Vou mostrá-lo, recorrendo à  identidade elementar introduzida anteriormente.

\left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=\left\vert z\right\vert ^{2}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-z\overline{z}_{0}-\overline{z}z_{0},

onde está demonstrada, como resultado directo das propriedades elementares dos números complexos. Por conveniência repito a sua dedução, de forma condensada e com alteração de notação

\left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=\left( z-z_{0}\right) \overline{\left( z-z_{0}\right) }=\left( z-z_{0}\right) \left( \overline{z}-\overline{z}_{0}\right)

=z\overline{z}+z\overline{z}_{0}-w\overline{z}+z_{0}\overline{w}=\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}.

Seja z=x+iy e z_{0}=x_{0}+iy_{0}. A equação \left\vert z-z_{0}\right\vert =r é equivalente a

 \left\vert z-z_{0}\right\vert ^{2}=r^{2},

 ou seja a

 \left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}=r^{2}

 e

 \left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-r^{2}=0

 que é precisamente a equação dessa tal circunferência.

Assim, o conjunto 

B=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-r^{2}=0\right\} =A.

 

Exemplos: o lugar geométrico dos z tais que

1. \left\vert z-(2-i)\right\vert =1  é a circunferência de centro em z_{0}=x_{0}+iy_{0}=2-i e raio r=1, traduz-se também pela equação

 \left\vert z\right\vert ^{2}+\left( -2+i\right) \overline{z}+\left( 2-i\right) z-4=0

 isto é

 \left\{ z\in\mathbb{C}:z\overline{z}+\left( -2+i\right) \overline{z}+\left( 2-i\right) z-4=0\right\} =\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z-(2-i)\right\vert =1\right\}

2. \left\vert z\right\vert =r é a circunferência de centro em z_{0}=x_{0}+iy_{0}=0+i0 e raio r.

Neste caso a equação equivalente é z\overline{z}-r^{2}=0 o que é uma consequência imediata de \left\vert z\right\vert =r, dado que z\overline{z}=\left\vert z\right\vert ^{2}.

Por este motivo \left\{ z\in\mathbb{C}:z\overline{z}-r^{2}=0\right\}=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left\vert z\right\vert =r\right\} que foi a equivalência referida no início.

Claro que em vez de

\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{z}_{0}-z_{0}\overline{z}+\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-r^{2}=0

 a equação pode assumir uma forma equivalente, multiplicando-a por uma constante real k\neq 0:

 k\left\vert z\right\vert ^{2}+kz\overline{z}_{0}-kz_{0}\overline{z}+k\left\vert z_{0}\right\vert ^{2}-kr^{2}=0.

Exercício: indique o lugar geométrico definido no plano complexo z pela equação

 3\left\vert z\right\vert ^{2}+3z\left( 1-i\right) -3\left( 1+i\right) \overline{z}-6=0.

Esta equação é equivalente a

\left\vert z\right\vert ^{2}+z\left( 1-i\right) -\left( 1+i\right) \overline{z}+2-4=0,

pelo que, comparando coeficientes,

 r=2,\left\vert z_{0}\right\vert =\sqrt{2},z_{0}=1+i.

 Trata-se da circunferência centrada em 1+i e de raio igual a 2, de que falei logo no primeiro parágrafo.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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