Resolução do problema da determinação de dois números dos quais se sabe a soma e o produto

Nesta entrada enunciei este problema dividido em duas partes:

1. Quais são os dois números que somados dão 20 e multiplicados, 75?

2. A soma de dois números a e b é s e o seu produto p. Determine os números e justifique.

Apresento agora uma possível

Resolução

1. Designando os dois números que pretendemos achar por x,y, sabemos que x+y=20 e que xy=75. Ou seja, como y=20-x,

x(20-x)=75\Leftrightarrow 20x-x^2=75\Leftrightarrow x^2-20x+75=0.

As duas soluções desta equação são

x_1=\dfrac{20+\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20+10}{2}=15

x_2=\dfrac{20-\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20-10}{2}=5

a que correspondem, respectivamente, y_1=20-15=5 e y_2=20-5=15. Os números procurados são, então, o 15 e o 5.

2. Este mesmo método aplicado agora a este caso geral, traduz-se em: a+b=sab=p. Ou seja, como b=s-a,

a(s-a)=p\Leftrightarrow sa-a^2=p\Leftrightarrow a^2-sa+p=0.

As duas soluções desta equação são

a_1=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

a_2=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}

a que correspondem, respectivamente, b_1=s-a_1 e b_2=s-a_2. Mas,

b_1=s-a_1=s-\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_2

e

b_2=s-a_2=s-\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_1.

Por este motivo, os números que satisfazem o enunciado são

\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

e

\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}.

 

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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5 respostas a Resolução do problema da determinação de dois números dos quais se sabe a soma e o produto

  1. Américo Tavares
    Os raciocínios usados neste exercício constituem, porventura, a melhor introdução à fórmula interpoladora de Lagrange. Basta começar a generalizar.

  2. António Ferrão
    Ainda não tinha pensado nisso!
    Que tal uma eventual colaboração sua explorando essa via?

  3. Américo Tavares
    A ideia da colaboração é interessante. Sinto que há um amplo espaço para a divulgação dos métodos matemáticos e da matemática aplicada.
    Sobre o tema, a forma factorial das equações algébricas, onde as raízes aparecem explicitamente, é muitas vezes relegada para segundo plano. Porém, é usada no método de interpolação polinomial de Lagrange, que é uma es+écie de fórmula mãe de todos os métodos de interpolação, embora tenha pouco interesse prático.
    Se partirmos da forma factorial de um polinómio de segundo grau para a forma aditiva, vemos as funções soma e produto das raizes aparecerem nos coeficientes dos termos do primeiro grau e de grau zero. Fazendo identicamente para um polinómio com três raizes, encontramos novas funções nos coeficientes. O quadro complica-se muito rapidamente à medida que subimos o número de raízes, o que poderá ter motivado a preferência de Lagrange pela forma multiplicativa directa.
    O espaço de um comentário é curto. Sugiro uma cerveja numa das muitas belas esplanadas de Algés.

  4. werlesson diz:

    eu fiz aprova hoje

  5. Sergio diz:

    tire uma duvida numa resolução de sistema de equação com incógnita elevada ao cubo não estou conseguindo chegar ao valor real

    x+y=9
    x³+y³-2x-2y=23
    já fiz pelo método da substituição e não estou conseguindo se poder me ajudar das umas dicas agradeço.

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