Série uniforme de pagamentos: Formação de capital – cálculo financeiro

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Admita o leitor que constitui um fundo, fazendo uma sequência de n pagamentos constantes A à taxa de juro i e que pretende saber qual a relação entre o capital F, no fim dos n períodos, e o valor de A.

O primeiro pagamento rende juros durante n-1 períodos. O segundo, durante n-2 e, em geral, o do período k, durante n-k períodos. Então, o valor futuro correspondente ao pagamento do período k é

F_k=A(1+i)^{n-k}.

Se somarmos todos os valores futuros F_k, para k=1,2,\dots,n, atendendo à fórmula da soma dos primeiros n termos de uma progressão geométrica de razão c e primeiro termo u_1, que é igual a

u_1\dfrac{c^n-1}{c-1},

em que, neste caso, u_1=A (ver a seguir \displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}) e c=1+i, obtém-se

F=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}F_k=\displaystyle\sum _{k=1}^{n}A(1+i)^{n-k}=\displaystyle\sum _{m=1}^{n}A(1+i)^{m-1}=A\dfrac{(1+i)^n-1}{i}.

Se exprimirmos A em função de F, virá

A=F\dfrac{i}{(1+i)^n-1}.

Três condições importantes de aplicação destas fórmulas são: os pagamentos A são uniformes e equidistantes entre si, efectuando-se no final de cada período, e a taxa de juro i permanece inalterada.

Exemplos numéricos: qual a quantia que deve ser depositada anualmente, durante dez anos, numa conta, à taxa de juro de 5\%, de modo que o seu saldo venha a ser igual a 10\; 000 unidades monetárias? E durante 20 anos? E se a taxa de juro for de 10\%?

Neste caso devemos determinar A, conhecida a taxa de juro i=5\% e o valor futuro F=10\; 000, para n=10:

A=F\dfrac{i}{\left( 1+i\right) ^{n}-1}=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{10}-1}=795,05 unidades monetárias.

Para n=20

A=10\; 000\times \dfrac{0,05}{\left( 1+0,05\right) ^{20}-1}=302,43 unidades monetárias.

Se i=10\%, tem-se, para dez e 20 anos, respectivamente, 627,45 e 174,60 unidades monetárias, claro que muito menos.

Ao fim de n anos, no caso limite em que a taxa de juro é continuamente composta, se a taxa nominal for r, a taxa efectiva, como mostrei aqui é igual a e^r-1, pelo que a relação anterior da formação de capital se traduz em

A=F\dfrac{e^r-1}{e^{rn}-1}

 

 P. S. corrigido erro num somatório. Usado c para a razão da progressão geométrica, para não se confundir com a taxa  r do último parágrafo.

ADENDA DE 20-8-2008: gráfico da relação F/A em função da taxa de juro i para n=10 períodos

 E como determinar i conhecidos A,F e n? Veja exercício numério de cálculo da raiz de uma equação não linear aqui.

ADENDA DE 9-11-2008: acrescentado link no último parágrafo ao cálculo da raíz de uma equação não linear.

ADENDA DE 30-1-2009: veja aplicação aqui

O displaystyle do LaTeX para melhor visualização no WP

Prefiro, neste blogue, escrever os símbolos e fórmulas matemáticas em tamanho maior, para facilidade de leitura. O comando do LaTeX é o \displaystyle, útil antes de fracções, integrais, somatórios, etc.

No caso das fracções, como o comando normal é o \frac, isso significaria escrever \displaystyle\frac, mas é possível escrever, com o mesmo efeito, \dfrac . Quanto aos parêntesis de todos os tipos, é necessário permitir que se ampliem automaticamente, de acordo com o que estiver no seu interior: se for uma fracção, os dois parêntesis são maiores do que se for um número inteiro, por exemplo.

No caso dos coeficientes binomiais, há o normal \binom e o maior \dbinom .

TRÊS EXEMPLOS: (o leitor poderá ver o código utilizado passando sobre as fórmulas)

1. A desigualdade

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right) ^2\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right)

vê-se melhor do que

(\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k})^2\leq\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})(\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2})

a menos que se queira escrevê-la (\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k})^2\leq\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2})(\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}) na própria linha — a chamada apresentação inline –, em vez de ficar destacada, numa linha separada.

2. O integral

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }=0

vê-se melhor do que escrito na forma

\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx =\frac{1}{2}[\frac{\sin (p-q)x}{p-q}]_{-\pi }^{\pi}+\frac{1}{2}[\frac{\sin (p+q) x}{p+q}]_{-\pi}^{\pi }=0

3. Finalmente

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

dá uma melhor leitura do que

\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^{3}}+\sum_{k=1}^{N}\frac{( -1)^{k-1}}{2k^{3}\binom{N}{k}\binom{N+k}{k}}=\frac{5}{2}\sum_{k=1}^{N}\frac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\binom{2k}{k}}

Actualizações de 20 e 22-8-2008: encurtado título.

* * *

Adenda de 26-7-09: Neste tema, Tarski, do WordPress, os símbolos matemáticos são apresentados a cinzento. Para os tornar pretos é necessário acrescentar, no fim, a todos, o código &fg=000000 , como é explicado, por exemplo, em LaTeX to WordPress do blogue ” in theory “.

OS MESMOS EXEMPLOS A PRETO (sufixo &fg=000000):

P1. Desigualdade

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right) ^2\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right)

em vez de

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right) ^2\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right)

P2. Integral

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }=0

em vez de

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x+\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }=0

P3. Identidade

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

em vez de

\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n^{3}}+\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left( -1\right) ^{k-1}}{2k^{3}\dbinom{N}{k}\dbinom{N+k}{k}}=\dfrac{5}{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{N}\dfrac{\left(-1\right) ^{k-1}}{k^{3}\dbinom{2k}{k}}

Adenda de 3-8-09

Exemplo de numeração de equação à direita com espaço: para obter

 \displaystyle \mathop{\mathbb E}_{x\sim X} f(x):= 1 \ \ \ \ (1)

pode usar-se o seguinte código (sem espaço entre $ e latex):

$ latex \displaystyle \mathop{\mathbb E}_{x\sim X} f(x):= 1 \ \ \ \ (1)&fg=000000$ ,

no qual

$ latex f(x):= 1 \ \ \ \ (1)&fg=000000$

permite obter o espaço à direita

f(x):= 1 \ \ \ \ (1)

enquanto que

 

  $ latex \displaystyle \mathop{\mathbb E}&fg=000000$

gera

 \displaystyle \mathop{\mathbb E}

e

$ latex \displaystyle \mathop{\mathbb E}_{x\sim X}&fg=000000$

cria

\displaystyle \mathop{\mathbb E}_{x\sim X}

Outra possibilidade, ilustada por

Li_{2}\left( 1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{2}}=\zeta \left( 2\right) =\dfrac{\pi ^{2}}{6}\qquad (2)

é obter o espaço com qquad

$ latex Li_{2}\left( 1\right) =\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{k^{2}}=\zeta \left( 2\right) =\dfrac{\pi ^{2}}{6}\qquad (2)&fg=000000$

Link: blogue sobre LaTeX avançado:  LATEX O que vou aprendendo, de Antero Neves

 

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

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A desigualdade de Cauchy-Schwarz corresponde ao seguinte

Teorema: Para todo o vector \mathbf{x}=\left( x_{1},...,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n} e todo o vector \mathbf{y}=\left( y_{1},\ldots ,y_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}, tem-se:

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}

ou

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^2\leq\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^2\right)\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^2\right)   

Demonstração 

Qualquer que seja o real \lambda , tomo o vector \mathbf{x}-\lambda\mathbf{y}, e vou achar

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}.

Seja qual for o \lambda , o trinómio do lado direito, em \lambda , não muda de sinal, é sempre positivo ou igual a zero, porque o número \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-\lambda y_{k}\right) ^{2} é não negativo:

\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}-2\lambda \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}+\lambda ^{2}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\geq 0,

o que implica que o seu discriminante seja menor ou igual a zero

\Delta =\left( 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}-4\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) \leq 0,

significando que

\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}y_{k}\right) ^{2}\leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) .

Daqui pode ainda concluir-se que

\left\vert \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{x}y_{k}\right\vert \leq \left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}\right) ^{1/2}\left( \displaystyle\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) ^{1/2}.

 

Se algum dos vectores \mathbf{x,y} for nulo, esta relação é evidentemente verificada.

\square

O significado geométrico em \mathbb{R}^{3} desta desigualdade é o de que o produto interno de dois vectores é menor ou igual ao produto dos módulos (das normas) desses vectores.

[Actualização de 30-9-2008: acrescentado pdf]

ADENDA de 27-11-2008: esta desigualdade é uma consequência directa da identidade de Lagrange demonstrada nesta entrada

Correcção de 1-12-2008: na segunda desigualdade do Teorema

Problema simples resolvido sobre idades de pais e filhos

Um casal e os seus dois filhos têm conjuntamente 85 anos. A filha é mais velha cinco anos do que o irmão e o pai mais dois do que a mãe. Calcular a idade actual de cada um sabendo que daqui a dois anos a mãe tem o triplo da idade da filha.

Resolução

Se designar por x a idade actual da filha, o filho tem agora x-5 anos. Se a idade actual da mãe for y, a do pai será y+2. Daqui a dois anos a idade da mãe será y+2 e a da filha x+2. Pelo enunciado sabe-se que

y+2=3(x+2)

que é equivalente a

y=3x+4 (1)

E também se sabe que a soma das idades é igual a 85:

x+(x-5)+y+(y+2)=85 (2)

Substituindo a equação (1) em (2) vem

x+(x-5)+3x+4+(3x+4+2)=85

ou, de forma equivalente

x+x+3x+3x=85+5-4-4-2

8x=80

x=10.

A idade actual da filha é então de 10 anos e a do irmão 5. A mãe tem agora 

y=3x+4=34 anos

e o pai 36.

Confirmando: 36+34+10+5=85 e 34+2=3\times (10+2)=36.

ADENDA DE 28-8-2008: Outro método de resolução poderá ser o que passo a expor, que necessita apenas da resolução de uma equação numa única variável. Acho, no entanto, que até é mais difícil do que o anterior.

Se x for a idade actual da filha do casal, a do filho é x-5. Daqui a dois anos a idade da filha será x+2 anos e a da mãe 3(x+2), pelo que a mãe hoje tem 3(x+2)-2=3x+6-2=3x+4 anos e o pai 3x+4+2=3x+6. Em resumo, as idades actuais dos filhos e dos pais são:

x, a da filha; x-5, do filho; 3x+4, da mãe; 3x+6, do pai.

Somando todas as idades há-de dar 85:

x+x-5+3x+4+3x+6=85

Agrupando os termos em x e os independentes da equação vem:

8x=80
x=\dfrac{80}{8}=10.
A fiha tem pois 10 anos, o filho 10-5=5, a mãe 3(10)+4=34 e o pai 3(10)+6=36.

Outra forma de calcular um integral clássico relacionado com Gama(1/2), Γ(1/2): versão portuguesa

Nesta entrada, em inglês, apresentei a seguinte solução para o Integral of the Week #2, onde se pede para calcular o integral

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}

sem ser pelo método mais habitual, que envolve a utilização de coordenadas polares.

Resolução

– : – : –

Nota: dado que

\Gamma (x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}\;dt,

Enigma dos produtos iguais

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ACTUALIZAÇÃO DE 18-9-2008: o leitor António Ferrão chegou à seguinte solução, quanto ao maior resultado possível do enigma a seguir enunciado:

915\times 64=732\times 80=58560

obtida através do programa escrito em PARI/GP indicado no comentário 3, que aqui reproduzo para o destacar e para uma visualização com indentação correcta de espaços (ver meu comentário 5).

Considerou

«expressões da forma: x*y=z*w, sendo x e z dois números decimais de quatro dígitos e y e w dois números decimais de três dígitos.
Condição: nenhum dígito se pode repetir em qualquer posição dos quatro números: x,y,z e w. A condição força a considerar todas as permutações dos dez dígitos, que se espalham entre os factores.
Número total de permutações: 10!=3628800.
Resultados do programa para determinação do produto mais elevado:
[10, 2, 6, 7, 5, 8, 4, 3, 9, 1]
915*64=732*80=58560
Os dígitos dos factores são extraidos da permutação reduzindo uma unidade. »

e separadamente da forma

«x e w com 5 dígitos e y e z com 1 dígito»

que conduz a um resultado inferior.

    

 Programa fonte para determinação do produto mais elevado

maxprod=0;
for (i = 0, 10!-1,perm=numtoperm(10,i);\
    x=(perm[1]-1)*100+(perm[2]-1)*10+(perm[3]-1);\
    y=(perm[4]-1)*10+(perm[5]-1);\
    w=(perm[6]-1)*100+(perm[7]-1)*10+(perm[8]-1);\
    z=(perm[9]-1)*10+(perm[10]-1);\
    p=x*y;\
    q=w*z;\
    if(p==q && p<maxprod,maxprod=p;\
      permmax=perm;\
      xmax=x;\
      ymax=y;\
      wmax=w;\
      zmax=z;\
    );\
  );\
  print(permmax);print(xmax,”*”,ymax,”=”,wmax,”*”,zmax,”=”,maxprod);\
quit;

 

* * *

A partir dos dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 constitua dois grupos de cinco dígitos todos diferentes entre si e disponha-os de modo a formar duas multiplicações cujo resultado seja igual.

Por exemplo

\Huge\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square\; =\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square

ou

\Huge\square\; \square\; \square\; \times\square\; \square\; =\square\; \square\; \square\; \square\; \times\square 

em que cada dígito aparece uma e uma só vez.

Encontre o menor e o maior resultados possíveis e os respectivos factores.

Os leitores que o entendam, poderão apresentar-me a solução, se possível justificada,  até 15 de Setembro de 2008 (com tolerância de duas semanas!), que publicarei.

Adaptado de Henry Dudeney, Os Enigmas de Canterbury, Biblioteca Desafios Matemáticos, RBA, 2008 (título original: The Canterbury Puzzles), Enigma 90, Os Cubos Numerados, onde se encontra uma exposição mais desenvolvida e as duas respostas, mas não a sua justificação.

[Editado em 15, 16 e 19-8-2008 com várias alterações.]

Actualização de 16-9-2008: alteração do enunciado.

Perímetro da astróide

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A hipociclóide é a curva descrita por um dado ponto P de uma circunferência que rola, sem escorregar, interiormente sobre outra. Se o raio da circunferência exterior for quádruplo do da interior, a curva é conhecida por astróidenão confundir com asteróide  — e as suas equações paramétricas são

x=a\cos^{3}t

y=a\sin^{3}t

e a cartesiana,

x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.

O gráfico, para a=1, é o seguinte

 

Sabe-se (*) que se a derivada de uma função real f existir e for contínua no intervalo \lbrack a,b\rbrack , o gráfico de f é rectificável e o seu comprimento L, entre os dois pontos de abcissa a e b, é dado por

L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left[ f^{\prime }\left( x\right) \right] ^{2}}\; dx (1)

ou, se x,y forem funções reais da variável real t 

x=\varphi (t)

y=\psi (t),

com primeira derivada contínua, então

L=\displaystyle\int_{t_{0}}^{t_{1}}\sqrt{\left[ \varphi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}+\left[ \psi ^{\prime }\left( t\right) \right] ^{2}}\; dt (2).

Determine o perímetro da curva representada (a=1).

Sugestão: calcule através do integral (2) o comprimento do troço da astróide definido por 0\le t\le \dfrac{\pi}{2} e daí obtenha o perímetro.

Resposta: 6

 

Resolução:

Vou seguir a sugestão, uma vez que a curva, por ser simétrica em relação aos dois eixos, o seu perímetro L é quatro vezes o valor do integral seguinte

I=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left[ \left( \cos^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}+\left[ \left( \sin^3 t\right)^{\prime }\right] ^{2}}\; dt =\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\left( -3\cos^2 t\cdot\sin t\right) ^{2}+\left( 3\sin^2 t\cdot\cos t\right) ^{2}}\; dt

=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{9\cos^2 t\cdot\sin^2 t}\; dt=3\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cdot\cos t\; dt =3\left[ \dfrac{\sin ^{2}t}{2}\right] _{0}^{\pi /2}=3\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2};

logo

L=4I=6.

Edição de 30-9-2008: acrescentado pdf e corrigida uma gralha num integral

(*) Justificação nesta minha entrada.

 

Resolução do problema da determinação de dois números dos quais se sabe a soma e o produto

Nesta entrada enunciei este problema dividido em duas partes:

1. Quais são os dois números que somados dão 20 e multiplicados, 75?

2. A soma de dois números a e b é s e o seu produto p. Determine os números e justifique.

Apresento agora uma possível

Resolução

1. Designando os dois números que pretendemos achar por x,y, sabemos que x+y=20 e que xy=75. Ou seja, como y=20-x,

x(20-x)=75\Leftrightarrow 20x-x^2=75\Leftrightarrow x^2-20x+75=0.

As duas soluções desta equação são

x_1=\dfrac{20+\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20+10}{2}=15

x_2=\dfrac{20-\sqrt{20^2-300}}{2} =\dfrac{20-10}{2}=5

a que correspondem, respectivamente, y_1=20-15=5 e y_2=20-5=15. Os números procurados são, então, o 15 e o 5.

2. Este mesmo método aplicado agora a este caso geral, traduz-se em: a+b=sab=p. Ou seja, como b=s-a,

a(s-a)=p\Leftrightarrow sa-a^2=p\Leftrightarrow a^2-sa+p=0.

As duas soluções desta equação são

a_1=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

a_2=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}

a que correspondem, respectivamente, b_1=s-a_1 e b_2=s-a_2. Mas,

b_1=s-a_1=s-\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_2

e

b_2=s-a_2=s-\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}=\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}=a_1.

Por este motivo, os números que satisfazem o enunciado são

\dfrac{s+\sqrt{s^2-4p}}{2}

e

\dfrac{s-\sqrt{s^2-4p}}{2}.