Geometria da recta e do plano – lugar geométrico

Uma recta r paralela a um plano \alpha dista dele 16 cm. Qual é o lugar geométrico dos pontos de \alpha equidistantes 34 cm de r ?

 
Resolução

O conjunto de pontos equidistantes 34 cm de r é a superfície cilíndrica de raio igual a 34 cm e cujo eixo é a recta r. Destes pontos, os que se situam simultâneamente no plano \alpha, são as duas gerarizes definidas pela intersecção de \alpha com a superfície cilíndrica, ou seja duas rectas paralelas a r assentes em \alpha. Só falta definir a distância d entre ambas. Se seccionarmos a superfície cilíndrica por um plano perpendicular a r, obtemos uma circunferência de raio igual a 34 cm centrada na intersecção desse plano com r. A intersecção das duas geractrizes com esse plano perpendicular à recta r são dois pontos situados nessa circunferência que definem conjuntamente com o centro da circunferência um triângulo isósceles de altura igual a 16 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras a uma das metades deste triângulo (de altura 16 cm, de hipotenusa 34 cm e o outro cateto x), vem

34^2=16^2+x^2.

Ora como o cateto x=\dfrac{d}{2} e da equação se tira x=30, d=60 cm. Em resumo, o lugar geométrico pedido são duas rectas paralelas à dada, que distam 60 cm entre si.

Actualização de 14-8-2008: acrescentada resolução.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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