Equação trigonométrica elementar

Resolva a seguinte equação:

\tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) \times \tan \left( 3x\right) -1=0

NOTAÇÃO: \tan x é a função trigonométrica tangente de x, e \mid (neste caso o mesmo que :), na resposta, lê-se “tal que”.

Resposta\left\{ x=\dfrac{1}{3}k\pi -\dfrac{1}{18}\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}

Resolução:

Como

\tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) =\dfrac{\sin\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }{\cos\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{-1}{2}}=-\sqrt{3}

a equação vem

-\sqrt{3}\tan \left( 3x\right)=1

ou

\tan \left( 3x\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

o que significa que

3x=k\pi-\dfrac{\pi}{6}

porque

\tan \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) =\dfrac{\sin \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) }{\cos \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) }=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

e a função trigonométrica tangente é periódica de período \pi, donde

x= \dfrac{k\pi}{3} -\dfrac{\pi}{18}

com k inteiro arbitrário.

[Acrescentada resolução em 17-8-2008]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
Esta entrada foi publicada em Exercícios Matemáticos, Matemática, Matemática-Secundário, Problemas, Trigonometria com as etiquetas , , , . ligação permanente.

2 respostas a Equação trigonométrica elementar

  1. marcos cristaldo diz:

    exercicio muito didatico, parabéns

  2. Americo diz:

    Gostei da dica

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