Links para o GAVE: Exames de Matemática A e B da 2ª fase. Resolução de duas questões

Publicado em 16 de Julho de 2008 por Américo Tavares

Veja nestes links do GAVE as provas e os critérios de resolução:

Matemática A – 635 – Prova – Critérios

Matemática B – 735 – Prova – Critérios

Pareceres da SPM

Matemática A: http://www.spm.pt/files/parecerfinalMat12Afase2.pdf

Matemática B: http://www.spm.pt/files/parecermatbfase2.pdf

Propostas de Resolução da SPM

Proposta de resolução do exame de Matemática A, Prova 635, 2ª Fase http://www.spm.pt/files/MatA2afase2.pdf

Da APM: Ensino Secundário – 2ª fase

prova 635 – Matemática A – resolução; comentário; parecer

prova 735 – Matemática B – resolução; comentário; parecer

Questão 1 do Grupo II de Matemática A:

1. Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere z_{1}=1-i

(i designa a unidade imaginária).

1.1 Sem recorrer à calculadora, determine o valor de \dfrac{2z_{1}-i^{18}-3}{1-2i}.
Apresente o resultado na forma algébrica.

Resolução

 

\dfrac{2z_{1}-i^{18}-3}{1-2i}=\dfrac{2\left( 1-i\right) -i^{4\times 4+2}-3}{1-2i}

 =\dfrac{2-2i-i^{2}-3}{1-2i} =\dfrac{2-2i+1-3}{1-2i}=-\dfrac{2i}{1-2i}

=-\dfrac{2i}{1-2i}\dfrac{1+2i}{1+2i} =\dfrac{-2i-\left( 2i\right) ^{2}}{1^{2}-\left( 2i\right) ^{2}}

 =\dfrac{4-2i}{1+4} =\dfrac{4}{5}-\dfrac{2}{5}i

1.2 Considere z_{1} uma das raízes quartas de um certo número complexo z. Determine uma outra raiz quarta de z, cuja imagem geométrica é um ponto pertencente ao 3.ºquadrante. Apresente o resultado na forma trigonométrica.

\bigskip

Resolução:

z_{1}=1-i=\sqrt[4]{z} é do 4º quadrante. Como o argumento das raízes difere de \dfrac{\pi }{2}, para obter a do 3º quadrante é necessário multiplicar z_{1} por i^{3}=-i ( cada multiplicação por i faz rodar o complexo de \dfrac{\pi}{2} rad)  e depois passar para a forma trigonométrica:

-\left( 1-i\right) i=-i-1=\sqrt{2}\left( -\cos \dfrac{\pi }{4}-i\sin \dfrac{\pi}{4}\right)

=\sqrt{2}\text{ cis}\text{ }\left( \dfrac{\pi }{4}+\pi\right) =\sqrt{2}\text{ cis}\text{ }\left( \dfrac{5\pi }{4}\right) .

[Editado às 22.40: acrescentado enunciado e resolução da questão II.1, e alterado título]

 

Questão 2.1 do Grupo II

2.1 Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A\subset \Omega e B\subset \Omega ).

Prove que: P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A})-P(B)+P(A\cup B)

(P designa a probabilidade, \overline{A} o acontecimento contrário de A e \overline{B} o acontecimento contrário de B.)

Resolução

Como

P(\overline{A\cap B})+P(A\cap B)=1

e

\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}

então

P(\overline{A}\cup \overline{B})+P(A\cap B)=1

ou

P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-P(A\cap B).

De

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

resulta

P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).

Combinando com P(A)+P(\overline{A})=1 vem

P(\overline{A}\cup \overline{B})=1-P(A)-P(B)+P(A\cup B)

P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(A)+P(\overline{A})-P(A)-P(B)+P(A\cup B)

 =P(A)-P(B)+P(A\cup B)

provando assim o que é pedido.

Questão 2.2 do Grupo II

2.2 Numa determinada cidade, das 160 raparigas que fizeram o exame nacional de Matemática, 65% tiveram classificação positiva, e, dos 120 rapazes que fizeram o mesmo exame, 60% também tiveram classificação  positiva.

Escolhendo, ao acaso, um dos estudantes que realizaram o exame, qual é a probabilidade de o estudante escolhido não ser rapaz ou não ter tido classificação positiva?

Apresente o resultado em forma de dízima, com aproximação às centésimas.

Nota:

Se o desejar, utilize a igualdade referida em 2.1. Neste caso, deverá começar por caracterizar claramente os acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada; no entanto, pode optar por resolver o problema por outro processo.

Resolução

 

Raparigas

160

65% com positiva (0,65\times 160=104)

Rapazes

120

60% com positiva (0,6\times 120=72)

P(\overline{A}=não ser rapaz ou \overline{B}=não ter classificaçao positiva)=P(\overline{A}= não ser rapaz )-P(B= ter classificação positiva ) +P(A= ser rapaz ou B= ter classificação positiva )

\bigskip

=\dfrac{160}{120+160}-\dfrac{104+72}{120+160}+\dfrac{120+104}{120+160}

 =\dfrac{160-104-72+120+104}{120+160}=\dfrac{208}{280}=\dfrac{26}{35}\simeq 0,74

[Editado em 17-7-2008, 0h42m, acrescentado enunciado e resolução da questão II.2.1 e alterado novamente título]

[Editado em 17-7-2008, 11h23m, acrescentando pareceres da SPM e da APM]

[Editado em 17-7-2008, 13h45m, acrescentando resolução de 2.2 do Grupo II]

ADENDA DE 12-7-2008, 20h30m – Resolução publicada no Público:

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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