Séries de Fourier 5 – Problemas II

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Continuação de Séries de Fourier 4 – Problemas

Problema 5

1. Verifique que o sistema de funções \sin px (p=1,2,3,\dots) e \cos px (p=0,1,2,\dots) é ortogonal no intervalo \lbrack\-\pi,\pi\rbrack e determine os coeficientes a_p e b_p da série trigonométrica

\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{p=1}^{\infty}(a_p\cos px+b_p\sin px)

associada a uma função f(x) de quadrado integrável.

2. Sabendo que

\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}

verifique que aquele sistema é completo em relação à função

f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.

Resolução

1. Para o sistema de funções 1,\sin px (p=1,2,3,\dots) e 1,\cos px (p=0,1,\dots) tem-se:

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos px\; dx=0

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin px\; dx=0

Se p\ne q

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x-\cos(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi } =0-0=0

e

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos qx\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(p-q)x+\sin(p+q)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi } =0+0=0

Se p=q

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos px\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin (p-p)x+\sin (p+p)x\; dx =\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}0+\sin (p+p)x\; dx =\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos 2px}{2p}\right]_{-\pi}^{\pi } =0+0=0.

Por outro lado, os quadrados das três normas são

||\sin px||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2px)\; dx =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0 =\pi

||\cos px||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1+\cos 2px)\; dx =\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0 =\pi

||1||^2 =\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx =2\pi

e as próprias normas,

 
||\sin px|| =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}
 
||\cos px|| =\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}
 
||1||=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx}=\sqrt{2\pi}

 Verificam-se, portanto, as seguintes relações de ortogonalidade:
 
\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx=\delta_{pq}

\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx=\delta_{pq}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin qx\; dx=\delta_{pq}

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos kx\; dx=0

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin kx\; dx=0

ou na notação das funções ortogonais \phi_n, em que

\phi_0(x)=1

\phi_{2n-1}(x)=\cos nx

\phi_{2n}(x)=\sin nx,

estas relações exprimem-se por

||\phi_0||=||1||=\sqrt{2\pi}

||\phi_{2n-1}||=||\cos nx||=\sqrt{\pi}

||\phi_{2n}||=||\sin nx||=\sqrt{\pi}.

A partir das relações a seguir indicadas entre os coeficientes c_n e a_n,b_n podemos calcular o valor destes últimos pela fórmula geral

c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}.

Como os coeficientes c_n são dados por

c_0=\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx

c_{2n-1}=a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx

c_{2n}=b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx

os coeficientes a_n,b_n são então

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx

a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx

b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx.

2. Para a função f

f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0<x\le-\pi\end{array}\right.

tem-se

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2

e

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{0} -1\; dx+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\; dx=0

a_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\cos px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos px\; dx\right]

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[-\sin px\right]_{-\pi}^{0}+\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\sin px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0.

A interpretação para este valor nulo do coeficiente a_p é que sendo f ímpar a função não precisa dos cosenos, que são funções pares. Quanto ao coeficiente b_p tem-se

b_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\sin px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin px\; dx\right]

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{-\pi}^{0}-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0

=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}{[1-(-1)^p]-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}[(-1)^p-1]}

pelo que

b_p=\left\{\begin{array}{l}0\qquad \text{se }p\text{\ par}\\\dfrac{4}{p\pi}\quad \text{se }p\text{ \'{\i}mpar}\end{array}\right.

O desenvolvimento em série de Fourier da função f é então

f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{3}\sin 3x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{5}\sin 5x+\cdots.

O sistema é completo porque

\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx=2\pi

e

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2=\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2||1||^2+{a_1}^2||\cos x||^2+{b_1}^2||\sin x||^2+\cdots

=\left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2} =2\pi.

Problema 6

Calcule os coeficientes da série trigonométrica de Fourier associada a cada uma das funções indicadas

1.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<-\pi /2\\1\qquad\;\;-\pi /2\leq x<-\pi/2\\\text{0}\qquad\qquad\pi/2\leq x\leq\pi\end{array}\right.

2.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<0\\1\qquad 0\leq x<\pi\end{array}\right.

3.

f(x)=\left\{\begin{array}{l}-mx\qquad -\pi\leq x\leq 0\\mx\qquad 0\leq x\leq \pi\end{array}\right.

4.

f(x)=mx\qquad 0<x\le 2\pi

Respostas

1.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =1

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =\dfrac{2}{n\pi}\sin\dfrac{n\pi}{2}

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =0

2.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =1

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =0

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =\dfrac{1}{n\pi}(-\cos n\pi+1)

3.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx =0

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx =-\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m}{n^2}+\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m\cos n\pi}{n^2}

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx =0

4.

a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\; dx =2m\pi

a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\; dx =0

b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\; dx =-2\dfrac{m}{n}

[Editado em 11-7-2008: acrescentadas respostas do problema 6 e feitas ligeiras correcções e acrescentos na resolução do problema 5]

Actualização de 20-11-2008: incluído pdf e feitas pequenas correcções.

Continua em Séries de Fourier 6 – Problema III

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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