## Séries de Fourier 5 – Problemas II

Continuação de Séries de Fourier 4 – Problemas

Problema 5

1. Verifique que o sistema de funções $\sin px$ $(p=1,2,3,\dots)$ e $\cos px$ $(p=0,1,2,\dots)$ é ortogonal no intervalo $\lbrack\-\pi,\pi\rbrack$ e determine os coeficientes $a_p$ e $b_p$ da série trigonométrica

$\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{p=1}^{\infty}(a_p\cos px+b_p\sin px)$

associada a uma função $f(x)$ de quadrado integrável.

2. Sabendo que

$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}=\dfrac{\pi^2}{8}$

verifique que aquele sistema é completo em relação à função

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0

Resolução

1. Para o sistema de funções $1,\sin px$ $(p=1,2,3,\dots)$ e $1,\cos px$ $(p=0,1,\dots)$ tem-se:

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos px\; dx=0$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin px\; dx=0$

Se $p\ne q$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(p-q)x-\cos(p+q)x\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}-\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{\sin \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $=0-0=0$

e

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos qx\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin(p-q)x+\sin(p+q)x\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p-q\right ) x}{p-q}\right]_{-\pi }^{\pi}+\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos \left( p+q\right) x}{p+q}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $=0+0=0$

Se $p=q$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\cos px\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin (p-p)x+\sin (p+p)x\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}0+\sin (p+p)x\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-\cos 2px}{2p}\right]_{-\pi}^{\pi }$ $=0+0=0$.

$||\sin px||^2$ $=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx$ $=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1-\cos 2px)\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0$ $=\pi$

$||\cos px||^2$ $=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx$ $=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\dfrac{1}{2}(1+\cos 2px)\; dx$ $=\dfrac{1}{2}\left[ x\right]_{\pi}^{\pi }+0$ $=\pi$

$||1||^2$ $=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx$ $=2\pi$

e as próprias normas,

$||\sin px||$ $=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}$

$||\cos px||$ $=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos^{2}px\; dx}=\sqrt{\pi}$

$||1||=\sqrt{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx}=\sqrt{2\pi}$

Verificam-se, portanto, as seguintes relações de ortogonalidade:

$\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\cos qx\; dx=\delta_{pq}$

$\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin px\sin qx\; dx=\delta_{pq}$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos px\sin qx\; dx=\delta_{pq}$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos kx\; dx=0$

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin kx\; dx=0$

ou na notação das funções ortogonais $\phi_n$, em que

$\phi_0(x)=1$

$\phi_{2n-1}(x)=\cos nx$

$\phi_{2n}(x)=\sin nx,$

estas relações exprimem-se por

$||\phi_0||=||1||=\sqrt{2\pi}$

$||\phi_{2n-1}||=||\cos nx||=\sqrt{\pi}$

$||\phi_{2n}||=||\sin nx||=\sqrt{\pi}$.

A partir das relações a seguir indicadas entre os coeficientes $c_n$ e $a_n,b_n$ podemos calcular o valor destes últimos pela fórmula geral

$c_n=\dfrac{(f\cdot\overline{\phi_n})}{||\phi_n||^2}$.

Como os coeficientes $c_n$ são dados por

$c_0=\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$

$c_{2n-1}=a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$

$c_{2n}=b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$

os coeficientes $a_n,b_n$ são então

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$

$a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$

$b_{2n}=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$.

2. Para a função $f$

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}-1\qquad -\pi\le x<0\\+1\qquad 0

tem-se

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2$

e

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{0} -1\; dx+\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\; dx=0$

$a_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\cos px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos px\; dx\right]$

$=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[-\sin px\right]_{-\pi}^{0}+\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\sin px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0$.

A interpretação para este valor nulo do coeficiente $a_p$ é que sendo $f$ ímpar a função não precisa dos cosenos, que são funções pares. Quanto ao coeficiente $b_p$ tem-se

$b_p=\dfrac{1}{\pi}\left[\displaystyle\int_{-\pi}^{0}-\sin px\; dx+\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin px\; dx\right]$

$=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{-\pi}^{0}-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}\left[\cos px\right]_{0}^{\pi}=0+0=0$

$=\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}{[1-(-1)^p]-\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{p}[(-1)^p-1]}$

pelo que

$b_p=\left\{\begin{array}{l}0\qquad \text{se }p\text{\ par}\\\dfrac{4}{p\pi}\quad \text{se }p\text{ \'{\i}mpar}\end{array}\right.$

O desenvolvimento em série de Fourier da função $f$ é então

$f(x)=\dfrac{4}{\pi}\sin x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{3}\sin 3x+\dfrac{4}{\pi}\dfrac{1}{5}\sin 5x+\cdots$.

O sistema é completo porque

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\; dx=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; dx=2\pi$

e

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|c_n|^2||\phi_n||^2=\left(\dfrac{a_0}{2}\right)^2||1||^2+{a_1}^2||\cos x||^2+{b_1}^2||\sin x||^2+\cdots$

$=\left(\dfrac{4}{\pi}\right)^2\pi\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2k+1)^2}$ $=2\pi$.

Problema 6

Calcule os coeficientes da série trigonométrica de Fourier associada a cada uma das funções indicadas

1.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<-\pi /2\\1\qquad\;\;-\pi /2\leq x<-\pi/2\\\text{0}\qquad\qquad\pi/2\leq x\leq\pi\end{array}\right.$

2.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\qquad -\pi\leq x<0\\1\qquad 0\leq x<\pi\end{array}\right.$

3.

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-mx\qquad -\pi\leq x\leq 0\\mx\qquad 0\leq x\leq \pi\end{array}\right.$

4.

$f(x)=mx\qquad 0

Respostas

1.

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $=1$

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $=\dfrac{2}{n\pi}\sin\dfrac{n\pi}{2}$

$b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $=0$

2.

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $=1$

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $=0$

$b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $=\dfrac{1}{n\pi}(-\cos n\pi+1)$

3.

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\; dx$ $=0$

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $=-\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m}{n^2}+\dfrac{2}{\pi}\dfrac{m\cos n\pi}{n^2}$

$b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $=0$

4.

$a_0=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\; dx$ $=2m\pi$

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\cos nx\; dx$ $=0$

$b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin nx\; dx$ $=-2\dfrac{m}{n}$

[Editado em 11-7-2008: acrescentadas respostas do problema 6 e feitas ligeiras correcções e acrescentos na resolução do problema 5]

Actualização de 20-11-2008: incluído pdf e feitas pequenas correcções.

Continua em Séries de Fourier 6 – Problema III

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## Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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