Criado Prémio de Mérito pelo Ministério da Educação para alunos do ensino secundário

De http://www.min-edu.pt/np3/2459.html:

« O Prémio de Mérito Ministério da Educação é instituído com o objectivo de distinguir, em cada escola, o melhor aluno do ensino secundário dos cursos científico-humanísticos e dos cursos profissionais ou tecnológicos.

Este prémio, com o valor pecuniário de 500 euros, é atribuído, em cada escola do ensino público ou privado, bem como em escolas profissionais, ao melhor aluno dos cursos científico-humanísticos e ao melhor aluno dos cursos profissionais ou tecnológicos.

Com o objectivo de reconhecer e de valorizar o mérito, a dedicação e o esforço no trabalho e desempenho escolares, o Ministério da Educação atribui um prémio de mérito aos melhores alunos de cada escola que tenham concluído o ensino secundário no ano lectivo de 2007/2008 ou o venham a concluir nos anos lectivos seguintes. »

Concordo plenamente com a criação deste prémio e o seu objectivo, por achar que o mérito escolar deve ser valorizado. É um bom sinal que se dá à sociedade.

Olimpíadas Internacionais de Matemática IMO2008

Portugal ficou na 67ª posição, com um total de 55 pontos. A China com 217 ficou em primeiro lugar, seguida da Federação Russa e dos Estados Unidos, respectivamente, com 199 e 190 pontos.

Os problemas, que se encontram disponíveis na página oficial

http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2008&column=rank&order=asc

também em versão portuguesa, pode vê-los igualmente nesta cópia em pdf: imo2008_pt .

Adenda: Eis o

« Problema 1. Seja ABC um triângulo acutângulo e seja H o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de BC e que passa por H intersecta a recta BC nos pontos A_1 e A_2. Analogamente, a circunferência de centro no ponto médio de CA e que passa por H intersecta a recta CA nos pontos B_1 e B_2, e a circunferência de centro no ponto médio de AB e que passa por H intersecta a recta AB nos pontos C_1 e C_2. Mostre que A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão sobre uma mesma circunferência. »

 
[ortografia corrigida por mim.]

Adenda de 31-7-2008

Individualmente Pedro Vieira e Jorge Miranda obtiveram uma medalha de bronze e Eloísa Pires uma menção honrosa.

 

Pedro Vieira

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Jorge Miranda

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Eloísa Pires

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Adenda de 2-8-2008

Os portugueses obtiveram, respectivamente, 15, 15 e 9 pontos, enquanto que a classificação máxima (42 pontos) foi obtida por Xiaosheng Mu, Dongyi Wei e Alex (Lin) Zhai, os dois primeiros chineses e o terceiro dos Estados Unidos.

ADENDA DE 5-8-2008: Notícia da SPM – 20 de Julho de 2008, Olimpíadas Internacionais de Matemática, Alunos do 11º ano conquistam medalha na segunda melhor prestação portuguesa de sempre.

IMO 2009: ver esta entrada

 

Uma nova relação de recorrência geradora de números primos e 1’s demonstrada por Eric Rowland

Eric Rowland demonstrou que a seguinte relação de recorrência só gera 1’s e números primos 

a(n)-a(n-1)=\text{mdc }(n,a(n-1))

(com a condição inicial a(1)=7) no artigo recentemente publicado no Journal of Integer Sequences, Vol. 11 (2008), Article 08.2.8  intitulado  A Natural Prime-Generating Recurrence cujo resumo transcrevo:

« For the sequence defined by a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1)) with a(1) = 7 we prove that a(n)-a(n-1) takes on only 1’s and primes, making this recurrence a rare naturally occurring generator of primes. Toward a generalization of this result to an arbitrary initial condition, we also study the limiting behavior of a(n)/n and a transience property of the evolution. »

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[“gcd” significa “greatest common divisor“]

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Anteriormente tive oportunidade de ler alguns artigos de Rowland sobre a função zeta de Riemann publicados há uns anos na Internet. 

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Actualização de 2-8-2008: Eric Rowland indica neste post A simple recurrence that produces complex behavior — and primes! de A New Kind of Science Blog a origem deste seu trabalho. Entretanto criou esta demonstração que explora a recorrência. Inicialmente tomei conhecimento deste artigo de Eric Rowland, no JIS, neste post de Jeffrey Shallit no blogue Recursivity , através desta entrada do blogue Logic Nest.

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Seja r(n)=a(n)-a(n-1). O seguinte código permite obter, no software PARI (free software com licença GNU General Public License), os termos diferentes de um, para 2<n<101, da sucessão r(n).

r(5)=5,r(6)=3,r(11)=11,r(12)=3,r(23)=23, r(24)=3,r(47)=47,r(48)=3,r(50)=5,r(51)=3.

Todos os outros são iguais a um.

N=2;
X=7;
while(N<101,
  Y= X+gcd(N,X);
  if (Y-X>1,
    print(N ” : ” Y-X)
  );
  X=Y;
  N=N+1
)

 

Geometria da recta e do plano – lugar geométrico

Uma recta r paralela a um plano \alpha dista dele 16 cm. Qual é o lugar geométrico dos pontos de \alpha equidistantes 34 cm de r ?

 
Resolução

O conjunto de pontos equidistantes 34 cm de r é a superfície cilíndrica de raio igual a 34 cm e cujo eixo é a recta r. Destes pontos, os que se situam simultâneamente no plano \alpha, são as duas gerarizes definidas pela intersecção de \alpha com a superfície cilíndrica, ou seja duas rectas paralelas a r assentes em \alpha. Só falta definir a distância d entre ambas. Se seccionarmos a superfície cilíndrica por um plano perpendicular a r, obtemos uma circunferência de raio igual a 34 cm centrada na intersecção desse plano com r. A intersecção das duas geractrizes com esse plano perpendicular à recta r são dois pontos situados nessa circunferência que definem conjuntamente com o centro da circunferência um triângulo isósceles de altura igual a 16 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras a uma das metades deste triângulo (de altura 16 cm, de hipotenusa 34 cm e o outro cateto x), vem

34^2=16^2+x^2.

Ora como o cateto x=\dfrac{d}{2} e da equação se tira x=30, d=60 cm. Em resumo, o lugar geométrico pedido são duas rectas paralelas à dada, que distam 60 cm entre si.

Actualização de 14-8-2008: acrescentada resolução.

Problem of the Week #2 [from Walking Randomly blog] – Submission

I’ve just submitted the following solution for the

« Integral of the Week #2

The second Integral Of The Week (IOTW) is rather different from the first in that I am going to give you the evaluation. Your task is to prove it.

\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\; dx=\sqrt{\pi}

But WAIT! Almost every time I have seen this integral evaluated, it has been done by squaring it and converting to polar co-ordinates and that’s the one method of evaluation you can’t use for this particular challenge. I am looking for more ‘interesting’ proofs. Have fun.

Solutions can be posted in the comments section or sent to me by email (obtaining my email address is another puzzle for you to solve) and will be discussed in a future post. Feel free to send your solution in just about any format you like – plain text, uncompiled Latex, PDF, postscript, Mathematica, ODF, even Microsoft Word. When I get around to posting the solutions I will attempt to standardize them (to PDF probably).

By the way – you still have time to submit a solution for the first IOTW.

http://calcauxprobteor.wordpress.com/2008/07/24/integral-of-the-week-2-walking-randomly/]

[updated at 22:30 GMT: two typos in integrals corrected and explanation improved]

[update of July 26, 2008: \square added]

– : – : – leia o resto »

Equação trigonométrica elementar

Resolva a seguinte equação:

\tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) \times \tan \left( 3x\right) -1=0

NOTAÇÃO: \tan x é a função trigonométrica tangente de x, e \mid (neste caso o mesmo que :), na resposta, lê-se “tal que”.

Resposta\left\{ x=\dfrac{1}{3}k\pi -\dfrac{1}{18}\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\}

Resolução:

Como

\tan \left( \dfrac{2\pi }{3}\right) =\dfrac{\sin\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }{\cos\left( \dfrac{2\pi }{3}\right) }=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{-1}{2}}=-\sqrt{3}

a equação vem

-\sqrt{3}\tan \left( 3x\right)=1

ou

\tan \left( 3x\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

o que significa que

3x=k\pi-\dfrac{\pi}{6}

porque

\tan \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) =\dfrac{\sin \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) }{\cos \left( -\dfrac{\pi }{6}\right) }=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}

e a função trigonométrica tangente é periódica de período \pi, donde

x= \dfrac{k\pi}{3} -\dfrac{\pi}{18}

com k inteiro arbitrário.

[Acrescentada resolução em 17-8-2008]

Igreja da Ramela

« A Igreja da Ramela é um autêntico “Museu” (…)

(…) Foram concluídas, no sábado, 12 de Julho, as obras de recuperação e conservação dos 35 caixotões do tecto e do altar da igreja paroquial de Ramela, no concelho da Guarda. »

Leia a notícia completa aqui.

Foto tirada por mim ao Vale da Senhora da Teixeira, num local próximo da Ramela

 

Aditamento de 3-1-2009: dou conta da existência do blogue “Terras da Ramela” do qual este é o último post, sobre as fogueiras de Natal. Espero que o blogue de A. Sá Rodrigues  tenha sucesso! … E que o interior não se despovoe por completo.