Criado Prémio de Mérito pelo Ministério da Educação para alunos do ensino secundário

De http://www.min-edu.pt/np3/2459.html:

« O Prémio de Mérito Ministério da Educação é instituído com o objectivo de distinguir, em cada escola, o melhor aluno do ensino secundário dos cursos científico-humanísticos e dos cursos profissionais ou tecnológicos.

Este prémio, com o valor pecuniário de 500 euros, é atribuído, em cada escola do ensino público ou privado, bem como em escolas profissionais, ao melhor aluno dos cursos científico-humanísticos e ao melhor aluno dos cursos profissionais ou tecnológicos.

Com o objectivo de reconhecer e de valorizar o mérito, a dedicação e o esforço no trabalho e desempenho escolares, o Ministério da Educação atribui um prémio de mérito aos melhores alunos de cada escola que tenham concluído o ensino secundário no ano lectivo de 2007/2008 ou o venham a concluir nos anos lectivos seguintes. »

Concordo plenamente com a criação deste prémio e o seu objectivo, por achar que o mérito escolar deve ser valorizado. É um bom sinal que se dá à sociedade.

Olimpíadas Internacionais de Matemática IMO2008

Portugal ficou na 67ª posição, com um total de 55 pontos. A China com 217 ficou em primeiro lugar, seguida da Federação Russa e dos Estados Unidos, respectivamente, com 199 e 190 pontos.

Os problemas, que se encontram disponíveis na página oficial

http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2008&column=rank&order=asc

também em versão portuguesa, pode vê-los igualmente nesta cópia em pdf: imo2008_pt .

Adenda: Eis o

« Problema 1. Seja ABC um triângulo acutângulo e seja H o seu ortocentro. A circunferência de centro no ponto médio de BC e que passa por H intersecta a recta BC nos pontos A_1 e A_2. Analogamente, a circunferência de centro no ponto médio de CA e que passa por H intersecta a recta CA nos pontos B_1 e B_2, e a circunferência de centro no ponto médio de AB e que passa por H intersecta a recta AB nos pontos C_1 e C_2. Mostre que A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2 estão sobre uma mesma circunferência. »

 
[ortografia corrigida por mim.]

Adenda de 31-7-2008

Individualmente Pedro Vieira e Jorge Miranda obtiveram uma medalha de bronze e Eloísa Pires uma menção honrosa.

 

Pedro Vieira

\bigskip
 

Jorge Miranda

\bigskip
 

Eloísa Pires

\bigskip

 

Adenda de 2-8-2008

Os portugueses obtiveram, respectivamente, 15, 15 e 9 pontos, enquanto que a classificação máxima (42 pontos) foi obtida por Xiaosheng Mu, Dongyi Wei e Alex (Lin) Zhai, os dois primeiros chineses e o terceiro dos Estados Unidos.

ADENDA DE 5-8-2008: Notícia da SPM – 20 de Julho de 2008, Olimpíadas Internacionais de Matemática, Alunos do 11º ano conquistam medalha na segunda melhor prestação portuguesa de sempre.

IMO 2009: ver esta entrada

 

Uma nova relação de recorrência geradora de números primos e 1’s demonstrada por Eric Rowland

Eric Rowland demonstrou que a seguinte relação de recorrência só gera 1’s e números primos 

a(n)-a(n-1)=\text{mdc }(n,a(n-1))

(com a condição inicial a(1)=7) no artigo recentemente publicado no Journal of Integer Sequences, Vol. 11 (2008), Article 08.2.8  intitulado  A Natural Prime-Generating Recurrence cujo resumo transcrevo:

« For the sequence defined by a(n) = a(n-1) + gcd(n,a(n-1)) with a(1) = 7 we prove that a(n)-a(n-1) takes on only 1’s and primes, making this recurrence a rare naturally occurring generator of primes. Toward a generalization of this result to an arbitrary initial condition, we also study the limiting behavior of a(n)/n and a transience property of the evolution. »

\bigskip

[“gcd” significa “greatest common divisor“]

\bigskip

Anteriormente tive oportunidade de ler alguns artigos de Rowland sobre a função zeta de Riemann publicados há uns anos na Internet. 

\bigskip

Actualização de 2-8-2008: Eric Rowland indica neste post A simple recurrence that produces complex behavior — and primes! de A New Kind of Science Blog a origem deste seu trabalho. Entretanto criou esta demonstração que explora a recorrência. Inicialmente tomei conhecimento deste artigo de Eric Rowland, no JIS, neste post de Jeffrey Shallit no blogue Recursivity , através desta entrada do blogue Logic Nest.

\bigskip

Seja r(n)=a(n)-a(n-1). O seguinte código permite obter, no software PARI (free software com licença GNU General Public License), os termos diferentes de um, para 2<n<101, da sucessão r(n).

r(5)=5,r(6)=3,r(11)=11,r(12)=3,r(23)=23, r(24)=3,r(47)=47,r(48)=3,r(50)=5,r(51)=3.

Todos os outros são iguais a um.

N=2;
X=7;
while(N<101,
  Y= X+gcd(N,X);
  if (Y-X>1,
    print(N ” : ” Y-X)
  );
  X=Y;
  N=N+1
)

 

Geometria da recta e do plano – lugar geométrico

Uma recta r paralela a um plano \alpha dista dele 16 cm. Qual é o lugar geométrico dos pontos de \alpha equidistantes 34 cm de r ?

 
Resolução

O conjunto de pontos equidistantes 34 cm de r é a superfície cilíndrica de raio igual a 34 cm e cujo eixo é a recta r. Destes pontos, os que se situam simultâneamente no plano \alpha, são as duas gerarizes definidas pela intersecção de \alpha com a superfície cilíndrica, ou seja duas rectas paralelas a r assentes em \alpha. Só falta definir a distância d entre ambas. Se seccionarmos a superfície cilíndrica por um plano perpendicular a r, obtemos uma circunferência de raio igual a 34 cm centrada na intersecção desse plano com r. A intersecção das duas geractrizes com esse plano perpendicular à recta r são dois pontos situados nessa circunferência que definem conjuntamente com o centro da circunferência um triângulo isósceles de altura igual a 16 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras a uma das metades deste triângulo (de altura 16 cm, de hipotenusa 34 cm e o outro cateto x), vem

34^2=16^2+x^2.

Ora como o cateto x=\dfrac{d}{2} e da equação se tira x=30, d=60 cm. Em resumo, o lugar geométrico pedido são duas rectas paralelas à dada, que distam 60 cm entre si.

Actualização de 14-8-2008: acrescentada resolução.