Matemática A – Exame Nacional do Ensino Secundário – 1ª fase

Publicado em 23 de Junho de 2008 por Américo Tavares

Questão 1 do Grupo II e sua resolução:

Em \mathbb{C}, conjunto dos números complexos, considere z_{1}=1-\sqrt{3}i e z_{2}=8\text{ cis }0 (i designa a unidade imaginária).

1.1. Mostre, sem recorrer à calculadora, que \left( -z_{1}\right)  é uma raíz cúbica de z_2.

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Resolução algébrica:

Como

-z_{1}=-\left( 1-\sqrt{3}i\right) =-1+\sqrt{3}i

z_{2}=8\text{ cis }0=8\cos 0+i\sin 0=8,

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para mostrar que -1+\sqrt{3}i é uma raíz cúbica de 8 basta verificar que \left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{3}=8:

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\left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{3}=\left( -1+\sqrt{3}i\right) ^{2}\left( -1+\sqrt{3}i\right)

=\left( -2-2\sqrt{3}i\right) \left( -1+\sqrt{3}i\right) =2-2\sqrt{3}i+2\sqrt{3}i+2\times 3=8

\bigskip

1.2. No plano complexo, sejam A e B as imagens geométricas de z_{1}
e de z_3=z_1\cdot i^{46}, respectivamente.

Determine o comprimento do segmento [AB].

\bigskip

Resolução  algébrica:

i^{46}=\left( i^{2}\right) ^{23}=\left( -1\right) ^{23}=-1

z_{3}=z_{1}\cdot i^{46}=-z_{1}=-1+\sqrt{3}i

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\overline{AB}=\left\vert z_{1}-z_{3}\right\vert =\left\vert 1-\sqrt{3}i-\left( -1+\sqrt{3}i\right) \right\vert =\left\vert 2-2\sqrt{3}i\right\vert=2\left\vert 1-\sqrt{3}i\right\vert

=2\sqrt{1^{2}+\left( \sqrt{3}\right) ^{2}}=2\sqrt{1+3}=4.

Questão 2 do Grupo I:

2. Seja \Omega o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A\subset\Omega e B\subset \Omega ). Sabe-se que:

  • P(A\cup B)=80\%
  • P(B)=60\%
  • P(A\cap B)=10\%

Qual o valor de P(A) ?

(P designa probabilidade).

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Resposta (C) porque

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

80\%=P(A)+60\%-10\%

P(A)=80\%-60\%+10\%=30\%

RESOLUÇÃO DE MAIS QUESTÕES NESTA ENTRADA.

Documentos da SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

Documento da APM (Associação de Professores de Matemática)

Enunciado disponibilizado pelo GAVE em

e critérios de classificação em

Resolução da SPM publicada no CM de 24-6-2008:

 

Actualização de 24-6-2008: acrescentado link do enunciado e dos critérios de classificação e minha resolução de Grupo II, 1 e Grupo I, 2.

ADENDA DE 11-7-2008: Resultados dos Exames neste mapa oficial

http://www.min-edu.pt/np3content/?newsId=2324&fileName=Exames_2008___Mapa_de_resultados___final.pdf

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Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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