Logaritmos nos cálculos financeiros

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Suponha o leitor que pretende determinar a taxa nominal anual que composta mensalmente origina uma taxa efectiva de 19,56\%. A relação entre a taxa efectiva (i_E) e a nominal (i_N) é dada pela conhecida igualdade

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1,

em que m é o número de períodos de capitalização.

Numericamente será:

0,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}-1

1,1956=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}

Aplicando logaritmos a ambos os membros desta igualdade, teremos sucessivamente

\ln 1,1956=\ln \displaystyle\left(\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) ^{12}\right)

\ln 1,1956=12\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right)

0,014887=\ln \displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{12}\right) .

Agora calcula-se o anti-logaritmo:

e^{0,014887}=1+\dfrac{i_N}{12}

e como e^{0,014887}=1,014999,

1,014999=\displaystyle 1+\dfrac{i_N}{12}

ou

0,014999=\dfrac{i_N}{12}

0,014999\times 12=i_N

0,0179988=i_N

A taxa nominal anual é pois igual a 18\%.

Sobre o comportamento de 

i_E=\displaystyle\left( 1+\dfrac{i_N}{m}\right) ^m-1 

quando m tende para infinito, veja esta minha entrada.

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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