Identidade complexa útil

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Dados dois números complexos z e w, verifica-se

|z-w|^2=(z-w)\overline{(z-w)}=|z|^2+|w|^2-z\overline{w}-\overline{z}w.

Justifique esta dupla identidade.

ADENDA DE 25-9-2008

Demonstração

A primeira igualdade pode justificar-se considerando z e w da forma z=x+iy e w=u+iv, donde

 z-w=x-u-i\left( y-v\right) ,

 pelo que

 \overline{\left( z-w\right) }=\overline{\left( x-u-i\left( y-v\right) \right) }=x-u+i\left( y-v\right) .

 E como \left\vert z-w\right\vert =\sqrt{\left( x-u\right) ^{2}+\left( y-v\right) ^{2}},  então

 \left( z-w\right) \overline{\left( z-w\right) }=\left( x-u-i\left( y-v\right) \right) \left( x-u+i\left( y-v\right) \right) =\left( x-u\right) ^{2}+\left( y-v\right) ^{2} =\left\vert z-w\right\vert^{2}.

Quanto à segunda igualdade, deduz-se sucessivamente das propriedades elementares dos números complexos

 \left( z-w\right) \overline{\left( z-w\right) }=\left( z-w\right) \left( \overline{z}-\overline{w}\right) =z\overline{z}+z\overline{w}-w\overline{z}+w\overline{w}=\left\vert z\right\vert ^{2}+z\overline{w}-w\overline{z}+\left\vert w\right\vert ^{2}.

 [Revisão de 26-9-2008: alterado o título, que era «Identidade complexa muito simples»]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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