Série de Fourier da Onda Quadrada

Publicado em 13 de Maio de 2008 por Américo Tavares

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Primeiras somas parciais de \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\cos x-\dfrac{2}{3\pi}\cos3x+\dfrac{2}{5\pi}\cos5x-\dfrac{2}{7\pi}\cos7x+\cdots

Onda quadrada (a vermelho) no intervalo \lbrack -\pi ,\pi \rbrack

f(x)= \left\{\begin{array}{rl}1&\text{se } -\pi /2\leq x\leq\pi /2\\ 0&\text{se } |x|>\pi /2\end{array}\right.

e as somas parciais dos cinco primeiros termos da série de Fourier

f(x)= \dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\left( a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)

Em virtude de f\left( x\right) ser par b_{n}=0

f\left( x\right) =\dfrac{a_{0}}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx

Os coeficientes a_{n} são

a_{n}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi }^{+\pi }f\left( x\right) \cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,\cdots

a_{0}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\;dx=1

a_{1}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos x\;dx=\dfrac{2}{\pi }

a_{3}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 3x\;dx=-\dfrac{2}{3\pi }

a_{5}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 5x\;dx=\dfrac{2}{5\pi }

a_{7}=\dfrac{1}{\pi }\displaystyle\int_{-\pi /2}^{+\pi /2}\cos 7x\;dx=-\dfrac{2}{7\pi }

a_{2}=a_{4}=a_{6}=\cdots =a_{2n}=0

NOTA: a série de Fourier nos dois pontos de descontinuidade da função passa a meio do salto dado, isto é, neste caso 1/2.

ADENDA de 14-6-2008: observação:  nesta entrada escrevi:

Dada uma função f\left( x\right) definida no intervalo x\in\lbrack -\pi,\pi\rbrack , se f\left( x\right) satisfizer as condições de Dirichlet, a série trigonométrica de Fourier converge para \dfrac{1}{2}\lbrack\left( x^{+}\right) +f\left( x^{-}\right) \rbrack . Mas, o que é que acontece fora do intervalo \lbrack -\pi,\pi\rbrack ? A série trigonométrica de Fourier converge para uma função periódica que é a repetição de f\left( x\right) . Se f\left( x\right) for periódica de período 2\pi , a série trigonométrica de Fourier representa essa função em todo o eixo real. O termo a_{1}\cos x+b_{1}\sin x designamo-lo por fundamental, o termo a_{n}\cos x+b_{n}\sin nx , harmónica de ordem n

NOTA de 16-7-2008: esta entrada foi integrada em Série de Fourier 6 – Problemas III

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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13 respostas a Série de Fourier da Onda Quadrada

  1. Alfredo diz:
    20 de Outubro de 2008 às 19:30

    Gostaria de desenvolver uma onda dente de serra utilizando o MS Excel. Através da série de Fourier. Poderia me ajudar?

    Responder
  2. Américo Tavares diz:
    20 de Outubro de 2008 às 20:04

    Caro Alfredo

    A função f periódica de período igual a \pi definida por f(x)=x+\pi, se -\pi<x\le 0 e f(x)=x, se 0<x\le \pi só contém harmónicas pares. A sua série trigonométrica de Fourier é dada por

    \dfrac{\pi}{2}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}\sin 2nx

    (se não houver nenhum erro de cálculo dos coeficientes).

    Responder
  3. Silmar Crepaldi diz:
    7 de Novembro de 2008 às 10:27

    Tenho problemas na plotagem do g´rafico no MS Excel: o gráfico não chegou nem perto da forma desejada, desenvolvi da seguinte maneira:

    Obtive Ao An e Bn. (Nenhum deu zero)

    Calculei para valores de n=1, An
    ai fiz An (com n=1) para pi, 2*pi, 3*pi, 4*pi, 5*pi e 6*pi.
    fiz isso para n=1 n=2 n=3 n=4

    também calculei Bn do mesmo jeito.

    somei Ao com An e Bn depois joguei no gráfico este eixo com o eixo dos pis 1* 2* 3* 4* 5*
    6*. Cada n calculado daria uma linha especifica correto ?

    Não não sei o que fazer, se puder me ajudar agradeço imenssamente.

    Responder
  4. Américo Tavares diz:
    7 de Novembro de 2008 às 13:37

    Para a função f indicada no meu comentário 2,

    \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{\pi}{2}
    a_n=0 para n\neq 0
    Para n=1,2,3,\cdots
    b_2n=-\dfrac{2}{n}
    b_{2n+1}=0
    ou seja
    b_n=-\dfrac{1}{n}((-1)^n+1)

    É necessário multiplicar b_n por \sin nx.

    A soma parcial com 11 termos é

    \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sin 2x}{1}-\dfrac{\sin 4x}{2}-\dfrac{\sin 6x}{3}-\dfrac{\sin 8x}{4}-\dfrac{\sin 10x}{5}-\dfrac{\sin 12x}{6}-\dfrac{\sin 14x}{7}-\dfrac{\sin 16x}{8}-\dfrac{\sin 18x}{9}-\dfrac{\sin 20x}{10}

    que se aproxima razoavelmente da função f, como verifiquei no Scientic Work Place onde gerei o gráfico respectivo entre -\pi e \pi. Deve ser fácil verificar no Excel.

    Esta aproximação e todas as somas parciais passam por \dfrac{\pi}{2} para x=-\dfrac{\pi}{2},0,\dfrac{\pi}{2} porque são os pontos médios dos saltos da função nas descontinuidades.

    Responder
  5. cesar diz:
    7 de Outubro de 2009 às 18:02

    GOOD… Impecavel… Será que me pode enviar todo o que tiver sobre serie de fourier e onda quadratica.

    Muito obrigado

    Cumprimentos

    Responder
  6. António Gonçalves diz:
    9 de Dezembro de 2009 às 15:57

    Boa tarde

    Já dei serie de fourier há muitos anos e preciso de escrever em MATLAB um codigo generico, para gerar a onda quadrada de periodo 2*pi.
    Não sei como escrever esse codigo. Apenas sei fazer a soma das diversas parcelas da função cos, mas não sei como definir o valor dos coeficientes de modo a poder gerar a onda quadrada com n armonicas

    Será que o poderá desenvover e eu depois simular no MATLAB ?

    Gostaria de um codigo básico e com comentarios para eu melhor perceber.

    Os meus agradecimentos

    Responder
    • Américo Tavares diz:
      11 de Dezembro de 2009 às 23:08

      Eis a minha sugestão: se a sua onda quadrada for uma função par, isto é, simétrica em relação ao eixo dos y, o que significa que tem desfasagem nula, o desenvolvimento é igual ao da função f(x) do gráfico, que também tem o período 2\pi. Calcule o termo geral do coeficiente a_{2n-1}; quanto a b_n é zero (veja explicação no texto).
      Se a desfasagem não for nula, isso reflecte-se numa constante c. Pode fazer a mudança de variável x=t-c.
      Isto é a parte matemática do seu caso.
      Quanto à simulação em MATLAB não conheço nem utilizo este software ao ponto de lhe poder ser útil.

  7. Vitor diz:
    17 de Novembro de 2011 às 20:09

    Como poderia calcular a série de Fourier para uma sequência de 8 bits, na seguinte sequencia 01100001, sendo que os bits 1 são transmitidos com uma tensão de 5V e os bits 0 com uma tensão de 0V? A minha dúvida ocorre pelo fato de que o sinal não tem um comportamento periodico…

    Responder
  8. Eduardo diz:
    30 de Janeiro de 2013 às 01:03

    Esta série apresentada está errada, todos os termos são positivos, e não de sinais alternados. Acredito que a integração para os coeficientes foi feita de forma errada.

    Responder
  9. henrique diz:
    19 de Maio de 2014 às 00:38

    alguem sabe explicar o que é uma onda quadrada? estou confuso.

    Responder

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