Da equação do problema ao seu enunciado

Em Matematicamente Falando 7, Tema 6, é dada  a seguinte equação

2(x+3)=\dfrac{x-1}{2}

e pede-se um enunciado de um problema que possa ser traduzido por ela.

Vou dar dois exemplos:

  1. Qual o número que dividido por dois,  após ter ser subtraído de um, dá o dobro da soma dele próprio com três?
  2. Descobre a fracção que depois de adicionada a 3, se for multiplicada por 2, é igual à fracção que se obtém se lhe subtrairmos 1 e dividirmos o resultado por 2.

Resolução

2(x+3)=\dfrac{x-1}{2}\Leftrightarrow 4(x+3)=x-1\Leftrightarrow 4x+12-x+1=0

\Leftrightarrow 3x=-13\Leftrightarrow x=\dfrac{-13}{3}

Logo o número pedido é a fracção \dfrac{-13}{3}

[Editado em 9-8-2011]

Vídeos de e sobre Matemática [Videos on and about Math]

Em 16-11-2008: acrescentado aqui video da aula aula (1ª parte de uma série cinco) de Michel Waldschmidt  sobre métodos de irracionalidade e transcendência.

Em 16-8-2008: acrescentados aqui estes dois links a dois

   vídeos
 de Scott Carter sobre “acabar o quadrado” (completing the square) adequados para aprender a equação e a função quadráticas, ao nível do 9.º, para quem souber suficientemente inglês.

Em 4-10-2008: Moebius Transformations Revealed

 

  • Tenciono reunir aqui vários vídeos de e sobre Matemática – mesmo que não exclusivamente sobre esta disciplina: eis os primeiros
  • My intention is to collect here several videos on and about Math, even if not related only to this subject. These are the first ones.
    • Quem quiser sugerir outros vídeos para serem aqui colocados, poderá usar os comentários ou o meu e-mail.
    • Please suggest other videos to be inserted here by using the comment box or via e-mail.

1. “New Math” [ New Math (Corrected) 04:28 From: RonfarZ3 ]

(retirado)

2. What  you know about math? [What You Know About Math? 02:11From: aescore]

3. Math lesson: Pythagorean Theorem in 60 seconds [Pythagorean Theorem in 60 Seconds 01:35 From: MathCrazyTutoring]

4. Math lesson: A right triangle and the Pythagorean Theorem [Watch Video on The Pythagorean Theorem – Geometry Help 02:27 From: yourteachermathhelp]

5. Math lesson: Problem – How far above the ground  is the point where a ladder touches a building? [Watch Video on Pythagorean Theorem Word Problems – Math Help 02:54 From: yourteachermathhelp]

6. Nuno Crato entrevistado por Ana Sousa Dias na RTP2 – Part 1 06:14 From: MBRIBEIRO75

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Teorema de Pitágoras

Esquema da demonstração de Euclides 

 1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

Notação: c = hipotenusa  a = cateto azul  b = cateto verde

2. Teorema: c^2=a^2+b^2. A área do quadrado vermelho (sobre o lado c) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado a) e verde (sobre o lado b)

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

* * *

Notas: poderá ver uma demonstração deste teorema no blogue Fatos Matemáticos; em  Cut  the knot poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema; ou ainda  nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários; e nesta minha entrada uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

* * *

Actualização de 17.03.2010.

Eis uma das formas como este teorema era demonstrado no Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim (no volume 2.º, ano 4.º, páginas 57 a 59, de 1943, da Coimbra Editora L.da), em edição fac-símile, de 2004, da SPM, integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, que adquiri ontem e assim apresentado pela SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

« Autor: Diogo Pacheco de Amorim

Em Portugal foram editados muitos bons livros de texto, escritos em linguagem clara e convincente, que dão numerosos (e por vezes invulgares) exemplos, que contêm complementos de muito interesse, que em vários casos expõem assuntos hoje menos conhecidos, que até estabelecem terminologia, mas que não estão acessiveis por as edições se encontrarem esgotadas há muito tempo. A publicação de uma série de textos didácticos de qualidade poderá dar também um incentivo aos matemáticos de hoje para que se empenhem na edição de livros de texto para os ensinos básico, secundário e superior.

Nesta edição, integrada na Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática reproduzimos a obra de Diogo Pacheco de Amorim – “Compêndio de Geometria” de 1943. »

* * *

pdf: ver caderno

Exercícios 

Exercício: Determine o comprimento a=c de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base b e área A.

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,6)\put(1,1){\line(3,4){3}}\put(4,5){\line(3,-4){3}}\put(1,1){\line(1,0){6}}\put(4,5){\line(0,-1){4}}\put(2.3,3.2){\textit{a}}\put(5.7,3.1){\textit{c}}\put(3.8,0.5){\textit{b}}\put(4.1,2.7){\textit{h}}\end{picture}

Resolução: Seja b a  base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a \dfrac{b}{2}. Esta altura divide o triângulo isósceles de lados a,b,c em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de lados a,\dfrac{b}{2} e h e o da direita c,\dfrac{b}{2} e h, cada um com uma área igual a A/2. Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

a^2=h^2+\dfrac{b^2}{4}

Como a área do triângulo de lados a,b,c é A=\dfrac{b\times h}{2}, h=\dfrac{2A}{b}, podemos exprimir a em função de A,b:

a=c=\sqrt{\dfrac{4A^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{4}}

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que A=12\text{ cm}^2b=6\text{ cm}, determine a.

Resposta

a=5\text{ cm}

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas).  Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

[Reformulação geral em 17.03.2010 ]

18.03.10: Pode ver aqui um desafio relacionado com o teorema de Pitágoras, que reproduzo na íntegra:

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences, Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007

de

Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney)

P.S. E agora?

Reportando-me à figura, as letras a,b,c são os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a a+b, tem de área (a+b)^2. A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

c^2+4\times\dfrac{ab}{2}=c^2+2ab

A área total do da direita é

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

Igualando estas áreas, tem-se

c^2+2ab=a^2+b^2+2ab

donde se demonstra que

c^2=a^2+b^2\ \square

* * *

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

larecherchepitagoras1

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REFERÊNCIA: Philip Davis e Reuben Hersh, A Experiência Matemática, p. 146, Gradiva, 1995.