Matemática, papel e caneta, e problemas por resolver ou recentemente resolvidos

FONTE: http://www.fam.ulusiada.pt/Static/pam07/matematica_papel.jpg

 

Este é o meu método preferido para estudar ou escrever Matemática. Não que não utilize a calculadora ou software para editar, criar, verificar, etc., mas primeiro gosto de fazer tudo à mão.

Esta imagem aparece num post do lugar do conhecimento que comentei, aproveitando para divulgar o teor da notícia do post, que indicava este link para um artigo, em português,  de 2-2-2008, do Diário Digital.

Apresento na íntegra esse post e o meu comentário, que resultou de uma simples pesquisa no Google.
     

Israelita resolve problema matemático sem solução há 40 anos, Fevereiro 8, 2008

 « Um israelita de origem russa resolveu um problema matemático que estava sem solução desde que foi lançado, há cerca de 40 anos. »

Comentário « 3. problemasteoremas – Fevereiro 15, 2008

Links to arXiv/Links para o arXiv:

http://uk.arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0709/0709.0099v4.pdf

and/e

http://front.math.ucdavis.edu/0709.0099

“The road coloring problem

Authors: A. N. Trahtman

Categories: math.CO Combinatorics

Abstract: The synchronizing word of deterministic automaton is a word in the alphabet of colors (considered as letters) of its edges that maps the automaton to a single state. A coloring of edges of a directed graph is synchronizing if the coloring turns the graph into deterministic finite automaton possessing a synchronizing word.
The road coloring problem is a problem of synchronizing coloring of directed finite strongly connected graph with constant outdegree of all its vertices if the greatest common divisor of lengths of all its cycles is one. The problem was posed by Adler, Goodwyn and Weiss over 30 years ago and evoked a noticeable interest among the specialists in theory of graphs, deterministic automata and symbolic dynamics. The problem is described even in “Wikipedia” – the popular Internet Encyclopedia. The positive solution of the road coloring problem is presented.

Owner: Avraham Trahtman N

Version 4: Fri, 21 Dec 2007 08:07:18 GMT”  »

Este comentário foi motivado pelo primeiro, de Leslie de Oliveira Heringer, Fevereiro 13, 2008, que refere: « (…) I ‘d like to know the solution – could you explain it, please? (…) » e pela resposta do autor do blogue “lugar do conhecimento” (ver link na barra lateral): « i don’t… but who knows a website where people can see the solution please post the link hehe ».

Quanto ao facto de A. N. Trahtman ter necessitado de 40 anos a apresentar uma solução, não me surpreende em nada. Basta ver que os inúmeros problemas em aberto, muitos deles datam de há séculos (exemplo: a Hipótese de Riemann) e dos célebres que foram recentemente dados como demonstrados, alguns demoraram igualmente século(s), como foi o caso da Conjectura de Poincaré (cem anos) ou do Último Teorema de Fermat (muito, muito mais de cem anos).

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer
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64 respostas a Matemática, papel e caneta, e problemas por resolver ou recentemente resolvidos

  1. nfaust diz:

    Caro Américo.

    Como Matemático gosto também de fazer cálculos em papel. No entanto penso que a matemática moderna deixou de ser a matemática do papel mas a matemática do computador, primeiro porque cada vez é mais difícil trabalhar em matemática pura e depois porque a maior parte dos papers que surge resume a encadear ideias e relacionar tópicos de outros. Neste campo é mais importante conhecer a bibliografia existente do que propriamente fazer cálculos.
    Quanto ao estudo de problemas designados por “quentes”/apetecíveis. À medida que vou tendo mais experiência, tenho a sensação de que este não é o caminho para produzir matemática. Como exemplo vivo temos o Andrew Wiles que perdeu mais de 7 anos da vida dele para provar o Teorema de Fermat. Claro que o fez com brilhantismo e distinção mas no entanto o seu esforço apenas lhe valeu uma chapa de prata (ICM1998, Technishe Universtitat Berlin) pois passou dos 40.
    Para esta parte sou mais a favor da Filosofia de Sir Michael Atiyah:

    “I have practically never started off with any idea of what I’m
    going to be doing or where it’s going to go. I’m interested in mathematics; I talk, I learn, I discuss and then interesting questions simply emerge. I have never started off
    with a particular goal, except the goal of understanding mathematics.”

  2. Caro Nelson,

    Também concordo com o que diz. O que eu escrevi refere-se ao nível de Matemática que toco. Os cálculos para mim realmente não são o mais importante, mas como não tenho acesso à maior parte da bibliografia relevante, é o que me resta fazer (compreender o que outros fazem/fizeram).

    Para concretizar: já dediquei vários anos a perceber porque é que \zeta (3) é irracional. As fontes por onde comecei foram o artigo de Alfred van der Poorten sobre o assunto, que inicialmente vi na net. Depois consegui a versão em papel e o artigo de Roger Apéry só cerca de um ano mais tarde é que o obtive. O de Frits Beukers acabei por o obter também. Quanto aos trabalhos posteriores, tenho bastantes. Um dos problemas neste caso é que o artigo de Apéry (3 páginas) é excepcionalmente difícil de perceber, mesmo para os Matemáticos especialistas na área.
    Acho que no fim percebi tudo, excepto uma das fórmulas que a mim me parece não estar bem, bem, certa. Porém, mesmo que eu tenha razão já vi que a demonstração dele, pelo método dele, não fica comprometida.
    Depois consegui que um Matemático me esclarecesse uma passagem da biografia escrita pelo filho de Roger Apéry, François Apéry, onde se relacionava o método de Apéry com os livros de notas de Ramanujan. Soube então que o método usado por Roger Apéry partia da chamada transformação dita de Bauer-Muir para as fracções contínuas, que foi publicada separadamente por ambos, Bauer e Muir, nos finais do século XIX.

    Como durante cerca de cinco anos a nova geração de Matemáticos se envolveu muito com a generalização, por múltiplas maneiras diferentes, a \zeta (5), \zeta (7), \dots , mas não através da aplicação da Transformação de Bauer-Muir, tentei ver o que se passava: rapidamente vi que não resultava para a fracção contínua associada a \zeta (5).

    É relativamente um problema menor, mas o que é facto, é que depois de Euler, apenas Apéry demonstrou, em 1977, a irracionalidade do que agora é, muitas vezes, conhecida pela sua constante. Quanto a \zeta (5), \zeta (7), \dots nada se sabe, apesar de tantas páginas já publicadas e com contribuições mais ou menos incrementais ao problema. Todos pensam que estes números são irracionais e possivelmente transcendentes (neste caso, incluindo o \zeta (3) ), mas nada foi demonstrado sobre um deles, individualmente considerados. Os melhores resultados são os de Rivoal e de Zudilin, que já demonstraram que há uma infinidade de números \zeta (n) (com n=3,5,7,\dots ) que são irracionais e que entre os iniciais (n pequenos) um deles é seguramente irracional.

    Para mudar de assunto, mas continuando nos problemas por resolver ou recentemente resolvidos, o caso de Perelman (Conjectura de Poincaré) é, ao mesmo tempo, fantástico e medonho — matematicamente fantástico, consequências pessoais medonhas.

    Nunca lá chegarei, nem sequer a outros infinitamente mais simples. Sim, gostaria de fazer qualquer contribuição, ainda que prosaica. Talvez, com sorte e mais trabalho. A questão de estar a par da bibliografia é fundamental, como diz, e mais se agrava quando se está isolado.

    Agradeço-lhe muito o ter-me comentado.

    Bom trabalho para si.

    Américo

    Adenda de 24-4-2008: Quanto ao software e ao computador respeito a Matemática Experimental, os métodos desenvolvidos por Wilf e Zeilberger para a demonstração automática de identidades, e outras formas de utilizar o computador como, por exemplo, o programa gratuito PARI desenvolvido por Henri Cohen (que tentou generalizar o método de Apéry nas décadas de 70/80), referindo apenas estas, por serem as que mais conheço.

    [correcção de 24-4-2008: n=3,5,7,\dots , visto que \zeta(1) nem sequer é convergente]
    [editado em 2-9-2008 o parágrafo sobre a relação entre o método de Apéry e os livros de notas de Ramanujan]

  3. nfaust diz:

    Caro Américo.

    Desde já o grande obrigado por ter enviado este comentário para o meu e-mail. Apenas não lhe respondi pois decidi tirar férias neste fim-de-semana prolongado.

    Quando vi o seu e-mail pensei em responder-lhe pessoalmente. No entanto penso que esta discussão deverá ser alargada a todos os interessados, daí invadir mais uma vez o seu espaço para dar a minha humilde opinião.

    Como deve ser do seu conhecimento, eu estive no ICM2006 naquele Agosto quente e tive oportunidade de estar em contacto com aquela atmosfera maravilhosa.
    Seguramente que naquela altura todos ficaram interessados em entender a prova da conjectura de Poincaré e nesse congresso tivemos duas grandes palestras nessa direcção: A de Hamilton (que estudou extensivamente o conceito de Ricci flow) e a de John Morgan (uma palestra mais para o público em geral).
    No entanto tenho de lhe confessar que fiquei na altura mais interessado no trabalho de Terry Tao e de Andrey Okounkov porque

    1) Na altura estava a trabalhar neste paper
    http://arxiv.org/abs/0706.0433v2

    2) Também me encontrava a trabalhar neste paper
    http://ceoc.mat.ua.pt/dspace/bitstream/2052/162/1/pam00162.pdf

    No caso de 1) fiquei tão entusiasmado com o trabalho de Terry que acabei por comprar o livro dele e com grande sorte minha ainda tive direito a um autógrafo.
    No caso de 2) Andrey Okounkov foi um bom referencial para ter conhecimento do trabalho de Richard Kenyon (um dos co-workers de Andrey Okounkov) em Discrete Dirac Operators http://front.math.ucdavis.edu/0202.4718

    Estes dois papers e em geral o minha investigação desde então sofreu uma pequena clivagem pois começei a olhar para o que eu fazia com outros olhos sem nunca me desviar do meu objecto de estudo. Com tudo isto posso dizer que para mim o ICM 2006 foi uma espécie de Woodstook.

    Depois do ICM2006 muita coisa boa aconteceu, em especial o número de preprints no ArXiV (muito por culpa de Perelman) e o crescimento exponencial de blogs a falar de matemática muito por culpa do senhor Terry Tao (again).

    Quanto ao seu interesse pela conjectura de Poincaré: O meu conselho será que o tente perceber de forma informal pois requer muita técnica e muitos conhecimentos em diversas áreas com equações com derivadas parciais, geometria diferencial e variedades.
    Claro que depois das Lecture Notes que o professor Tao colocou no seu blog é normal que qualquer comum mortal esteja interessado em ir mais a fundo na questão. Se quiser um conselho de amigo, fixe apenas as ideias essenciais na retina para um dia mais tarde tirar partido delas numa outra área.
    Eu pelo menos espero tirar partido delas daqui a uns tempos, pois confio plenamente que a técnica utilizada por Perelman poderá ser útil para resolver um outro problema do milénio (equações de Navier-Stokes).
    Se é um aficionado dos trabalhos de Terry Tao, sugiro-lhe a ter em atenção os trabalhos em Arithmetic Progressions pois isto é mais próximo da área em que o senhor Américo trabalha.
    Pelo que me apercebi há uns tempos atrás, neste ramo poderá ser encontrada uma resposta para a Hipótese de Riemann.

  4. Caro Nelson,

    Embora não sendo matemático estive de facto inscrito no ICM2006, que me autorizou a fazê-lo, como de resto a outros que desejassem assistir, pagando a taxa de inscrição. À última hora tive de anular a inscrição da qual fui parcialmente reembolsado.
    Já sabia pelos seus blogues que lá tinha estado, mas claro que o que agora divulga sobre o interesse para si dessa sua presença desconhecia.

    Eu não posso dizer que “trabalho”, apenas me interesso e pode ser que chegue a esse estatuto.

    Quanto aos seus conselhos agradeço-lhos.

    Para mim o Nelson já passou à categoria dos Investigadores Matemáticos, destacados na minha barra lateral [actualização de 8-1-2009: acrescentados “Investigadores”].

    Bom trabalho para si, com muita inspiração.

  5. paloma diz:

    cara vc e um genio!!!!!

  6. paloma

    Claro que não! Apenas um amador/entusiasta interessado que infelizmente tem falta de formação em áreas muito importantes, antes de tentar produzir algo de novo.

    Mas o objectivo deste blogue é muito mais modesto: apenas divulgar assuntos que me interessam e conheço.

    PS. Procuro evitar erros matemáticos, mas não posso garantir a sua ausência.

  7. giovani diz:

    como se resolve isso????????
    cotg pi/3, sec pi/3, cosec pi/3
    ajuda eu ai!!!!!!!!!!!!!

  8. Caro giovani

    O seu pedido está deslocado em relação a esta entrada e como já disse repetidas vezes NÃO respondo a dúvidas fora do âmbito do que publico.
    No entanto, a título excepcional, apresento-lhe um método de determinação destes valores baseado em relações simples de um triângulo equilátero. Veja esta entrada do meu blogue auxiliar Cálculos Auxiliares.

  9. Thais diz:

    Eu gostaria de saber como se resolve esse problema !

    dois navios navegavam pelo ocêano atlantico supostamente plano: X ,á velocidade constante de 16 milhas por hora,e Y á velocidade constante de 12 milhas por hora.Sabe-se que ás 15 horas de certo dia Y estava exatamente 72 milhas do sul de X e que a partir de então Y navegou em linha reta para o leste,enquanto X navegou em linha reta para o sul,cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições ás 17 horas e 15 minutos do mesmo dia,a distância entre X e Y ,em milhas era

    a)45 b) 48 c) 50 d) 55 e) 58

    ???

    • A resposta é 45.

      Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

      Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.
      Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 mihas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²= 2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas). Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a \sqrt{2025}=45 milhas.

      A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

    • sara diz:

      resposta letra a)

  10. facarol@gmail.com diz:

    60% dos funcionarios de uma empresa lêem a revista A,80% lêem a revista B,todos funcionarios lêem ao menos uma revista,qual a porcentagem que lê as duas revistas?

    • Vou designar por x a percentagem dos que lêem as duas revistas, por y a percentagem dos que lêm a B mas não lêem a A e por z a percentagem dos que lêem a A mas não lêem a B.

      A informação de que todos os funcionários lêem ao menos uma revista traduz-se na equação

      x+y+z=100

      O dado de que 60% dos funcionarios de uma empresa lêem a revista A exprime-se em

      x+z=60

      O outro dado — 80% lêem a revista B — corresponde a

      x+y=80

      Resolvendo este sistema de três equações a três incógnitas, chegamos a

      x=40
      y=40
      z=20

      A resposta à pergunta é o valor de x, ou seja, 40% lêem as duas revistas. [corrigido para 40%]

  11. Anónimo diz:

    um trabalho ha 16 questoes. carlos ganhara 5 pontos por cada questao certa e perdera 3 pontos por cada questoes erradas. sabendo que ele tirou zero no trabalho , quantas questoes ele acertou?

    • Caro Anónimo,

      Chamo ao número de respostas certas p e ao número de respostas erradas q.

      Se há 16 questões,

      p+q=16

      O número de pontos positivos correspondentes às respostas certas é 5p; o número de pontos negativos correspondentes às erradas é 3q. O número total de pontos é igual a 5p-3q que sabemos ser zero.

      Precisamos de resolver o sistema

      p+q=16
      5p-3q=0

      o que nos conduz a

      p=6
      q=10

      O Carlos acertou em 6 questões.

      Método alternativo: se p for o número de respostas certas, como 16-p é o número de erradas, basta resolver a equação

      5p-3(16-p)=0

      para obter, como acima p=6.

    • Anónimo diz:

      6*5=30
      10*3=30

      Acertou 6 questões

      [ Vejo que resolveu o problema mentalmente, de tão simples que é. Em muitos casos é possível ] A. Tavares

  12. camilo jesuino diz:

    o comprimento de uma mesa retangular é o dobro da largura,se a mesa tivesse 45 cm a menos de comprimento e 45 cm a mais de largura seria quadrada,qual é a area da mesa?

  13. Anónimo diz:

    em uma avenida os poste de iluminaçao esta espacado por uma distancia dfixa de 120mt existe telefones publicos instalados a cada 300mt de quanto em quantos metros havera um telefone publico junto a um poste de iluminação

  14. fernando diz:

    fiz 151,2 km com 12 litros de gasolina.quantos litros são necesários para fazer 378 km com a mesma média de consumo

  15. jonias diz:

    no lançamento do filme forao distribuidos 50 ingressos,atraves de um sorteio.no primeiro dia,foram distribuidas 10 entradas a mais que no segundo dia e ,no segundo dia,5 a mais que no terceiro.quantos ingressos foram distribuidos em cada dia?

    [Veja resposta no ponto 9 da entrada indicada no meu comentário anterior] AT

  16. valdalia silva diz:

    calcular 40% da terça parte de 2.400

    Resposta:
    .4\times 2400/3=320
    AT

  17. valdalia silva diz:

    o filho tem 1 terço da idade do pai juntos tem 80 anos quais as idades?

    Resposta:
    x+x/3=80
    x=60 (idade do pai)
    x/3=60/3=20 (idade do filho)
    AT

  18. rosinete diz:

    ‘um colar se rompeu quando brincavam dois namorados sexta parte dessas perolas ao solo caiu quinta parte na cama ficou um terço pela jovem se selvou decima parte namorado recolheu com seis perolas colar ficou quantas perolas tinha colar’

    Resposta:

    Depois de retirar
    \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{5}
    das pérolas, o colar ficou com
    1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}
    dessas pérolas, que nos diz serem 6, pelo que o colar inteiro tem
    6\times 5=30 pérolas.
    AT

  19. Fernanda diz:

    Problema para 4 serie

    Adicionamos as idades de todos que moram lá em casa, nós chegamos ao total de 100 anos. Eu e meu irmão, Juca, somos gêmeos e temos 10 anos. Minha mãe é 4 anos mais nova que meu pai, qual a idade do pai e da mãe do Juca?

    Resposta:

    O Juca e o irmão têm somados 20 anos. A soma das idades do pai e da mãe do Juca há-de ser 100-20=80 anos. Como a mãe é mais nova 4 anos, tem 38 anos e o pai 42.
    Uma forma de obter este resultado é dividir 4 por 2, o que dá 2. Enquanto que à mãe lhe faltam dois anos para chegar a metade de 80, ou seja aos 40 anos, o pai tem mais dois anos do que essa metade.
    AT

    • Fernanda diz:

      Resposta do problema para 4 serie:
      Os dois Gêmeos, juntos, tem 20 anos.Então:
      O total é 100, menos a idade dos dois meninos:

      100
      – 20
      80
      Chegando ao resultado 80 subtraia por 4 ai chegaremos
      ao resultado da idade da mãe:

      80
      – 4
      76

      Depois, divida o resultado por dois ( 2 = Pai e Mãe)

      76 / 2 = 38

      Então:

      38
      + 4
      42

      Assim, chegamos a todos os resultados.

      Comentário:

      “Chegando ao resultado 80 subtraia por 4 ai chegaremos ao resultado da idade da mãe”

      Eu diria

      “Chegando ao resultado 80 subtraia por 4 ai chegaremos ao dobro da idade da mãe”

      AT

    • Obrigado por ter comentado!
      E pela sua resposta posterior.
      De futuro, era melhor colocar este tipo de problemas nos comentários de

      https://problemasteoremas.wordpress.com/2009/03/16/problemas-a-nivel-do-basico-enviados-por-leitores/

      Parece ser difícil aos leitores seguirem este meu pedido. A razão dele deve-se unicamente ao facto de nesta já antiga entrada inicialmente eu ter comentado um assunto muito diferente.

  20. Andrea diz:

    “Neste Domingo 18.10 entrará em vigor em alguns estados do Brasil o horário de verão, quando os relógios deverão ser adiantados em uma hora. Isto significa que a diferença entre os horários de Brasil e Portugal também diminuirão, passando a ser apenas de três horas durante o tal período. Essa variação de horas no mundo é gerada pelos fusos horários, que dividem o globo em várias partes. Se Portugal ficasse no lugar da Austrália, por exemplo, e no Rio de Janeiro fosse 9 de setembro, 16 horas, em Lisboa – situada onde hoje temos Sydney – seria dia 10 de Setembro, 5 horas. Supondo que, nessas mesmas condições, uma viagem de avião entre Rio de Janeiro e Lisboa leva 18 horas, saindo do Rio de Janeiro no dia 2 de julho, às 12 horas, será possível chegar quando a Lisboa? Dia e hora.”

  21. clayton diz:

    Em um deposito ha varias caixas,todas do mesmo tamanho. Se forem feitas pilhas contendo em cada uma delas , 6 ou 8 ou 10 caixas, sempre sobrarao 3 caixas o numero minimo de caixa nesse deposito e a) 123 b)120 c)117, d)105,e)99

  22. susan diz:

    resolva pra mim essa conta por favor,
    (-2)+(-3).(-2)-¹:(-3)é :

    [ Resposta: se pretende escrever

    (-2)+(-3)\cdot (-2)^{-1}:(-3)

    o resultado é

    -\dfrac{5}{2}

    AT ]

  23. elizabethy diz:

    se x,x+3,2x+10 são os três primeiros termos de uma P.A.,calcule o valor de x e escrevea P.A.

  24. Jessica diz:

    Preciso qê resolva essas contas pra mim por favoorr !
    1= -3x+[x²-(4x²-x)+5x]
    2= xy-[2x+(3xy-4x)+7x
    3= 8a-[(a+2m)-(3a-3m)]
    4= a-(b-c)+[2a+(3b+c)]
    5= -[x+(7x-x)-(5+2x)]
    6= (3a+2m)-[(a-2m)-6a+2m)]
    7= {9x-[4x-(x-y)-5y]+y}

    Alguem pode me ajudar com essas contas sou pessima em matematica, isso e um teste qê é pra fazer em casa Valendo ponto x_x Me ajudem Please ?? Qualquer coisa deixe as respostas no meu E-mail jessica_dias_lobo@hotmail.com

    Muitoooooooooooooooo Obrigadoooooooo !!

    • Para a primeira:

      -3x+\left[ x^{2}-(4x^{2}-x)+5x\right] =-3x+\left( x^{2}-4x^{2}+x+5x\right) =-3x+\left( -3x^{2}+6x\right) =-3x-3x^{2}+6x=-3x^{2}+3x

      Se fosse a equação

      1=-3x+\left[ x^{2}-(4x^{2}-x)+5x\right]

      seria

      1=-3x+\left[ x^{2}-(4x^{2}-x)+5x\right] \iff

      \overset{(a)}{\iff }1=-3x+\left( x^{2}-4x^{2}+x+5x\right)

      \overset{(b)}{\iff }1=-3x+\left( -3x^{2}+6x\right)

      \iff 1=-3x-3x^{2}+6x

      \iff 1=-3x^{2}+3x

      \iff -3x^{2}+3x-1=0

      \overset{(c)}{\iff }3x^{2}-3x+1=0

      \overset{(d)}{\iff }x=\dfrac{3\pm \sqrt{9-12}}{2\times 3}

      \overset{(e)}{\iff }x=\dfrac{3\pm \sqrt{-3}}{6}=\dfrac{3\pm i\sqrt{3}}{6}=\dfrac{1}{2}\pm \dfrac{\sqrt{3}}{6}i

      \iff x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}i\quad \vee\quad x=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{6}i

      (a) porque -(4x^{2}-x)=-4x^{2}+x

      (b) porque x^{2}-4x^{2}+x+5x=\left( 1-4\right) x^{2}+\left( 1+5\right) x=-3x^{2}+6x

      (c) multiplicando ambos os membros de -3x^{2}+3x-1=0 por -1:

      -1\times \left( -3x^{2}+3x-1\right) =3x^{2}-3x+1

      -1\times 0=0

      (d) usando a fórmula resolvente de uma equação do 2.º grau

      ax^{2}+bx+c=0

      x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

      (neste caso a=3, b=-3 e c=1)

      (e) porque \sqrt{-3}=\sqrt{3\times (-1)}=\sqrt{3}\times \sqrt{-1}=\sqrt{3}\times i=\sqrt{3}i=i\sqrt{3}

      A equação não tem soluções nos números reais porque o número
      \sqrt{-3} não é real, mas complexo.

  25. quero que me madem exercicios resolvidos de calculo de areas superfices

  26. maikon diz:

    ao planejar uma montagem mecanica ,um terço eram parafuso do restante dois quarto eram porcas e os demais eramarrruelas .quantasa sao as arruelas sabendo que foram ultilizados um totao de (b x c) elementos de fixaçao?
    (usar fraçao complementar)
    obs:os elementos de fiçao sao parafusos porcas arruelas braçadeiras presilhas

    b=12
    c=14

  27. Aryadne Cristina diz:

    Boa tarde Américo Tavares eu tenho 14 anos e ano que vem vou prestar vestibulinho para o Ensino Médio e vem logo acima percebi que você é um genio na matematica e gostaria muito que me ajudasse a ampliar meus conhecimentos sobre este conceito que é a matematica porque não sou ”tão boa assim ” eu apenas me esforço para tirar boas notas e gostaria de saber o seu ”segredinho” para saber tantas coisas assim .
    Desde já agradeço pela sua compreenção . Espero sua resposta ansiosamente .

    Parabéns eu te admiro muito você é um genio .

    • Aryadne Cristina

      O seu comentário deixa-me sem saber bem o que dizer. Em primeiro lugar, é necessário afirmar categoricamente que não sou génio nenhum, nem da Matemática, nem de qualquer outra coisa. E sei muito menos do que lhe pode parecer, na sua idade; logo que souber mais vai chegar a essa conclusão.

      O esforço que diz fazer é um bom começo, que deve manter. Se lhe juntar gosto, acho que é uma boa receita para poder continuar a aprender e atingir um bom nível.

      Apenas um conselho: tente aprender com os mestres: os verdadeiros génios e os bons professores.

  28. Chris diz:

    Lendo 20 paginas por dia samanta terminou um livro levando 5 dias a mais que fatinha que lia 28 paginas por dia . quantas paginas tem o livro?
    Me ajudem a resolver isso ;x

    • Com o enunciado tal como está, dá um número de páginas inteiro, mas um número de dias não inteiro. Verifique se o enunciado é exactamente o que escreveu.

      Sugiro que escreva um sistema de duas equações do 1.º grau a duas incógnitas.

      Por exemplo, uma das equações corresponde ao total de páginas do livro, calculadas a partir do número de páginas que a Samanta lê por dia e do número de dias que leva a lê-lo (uma incógnita). A outra equação calcula o mesmo total de páginas do livro, mas utilizando o número de páginas que a Fatinha lê por dia e o número de dias que demora a lê-lo (outra incógnita).

  29. viduka diz:

    como resolvo esse problema? o sol tem diãmetro de 1 382 000 km e sua massa é 330 000 vezes maior que a da Terra.arredonde o número que indica o diâmetro do sol para a centena de milhar mais próximo

    • No número 7\;654\;321 os dígitos 1,2,3,4,5,6,7 são respectivamente o das unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhar, centenas de milhar e milhões. O dígito das centenas de milhar é o de 6.ª ordem.

      Assim, no número 1\;382\;000 que representa o diâmetro do Sol, em km, o dígito das centenas de milhar é o 3.

      Arredondado para a centena de milhar mais próxima escreve-se 1\;400\;000 , porque 1\;400\;000-1\;382\;000<1\;382\;000-1\;300\;000.

  30. ricardo martins diz:

    gostaria que me resolvesse este problema! uma livraria de uma grande cidade oferece 2 viagens que sao atribuidas por sorteio a 2 dos 200 melhores clientes. dados relativos aos 200 clientes permitem concluir que 105 sao mulheres,120 residentes na cidade e 70 sao mulheres residentes na cidade.
    1qual a probabilidade de o resultado do sorteio ter premiado:
    1.1 uma mulher e um homem ambos residentes na cidade?
    1.2 dois homens nao residentes na cidade?
    2 realizado o sorteio foi publicado quem os premiados eram residentes na cidade. qual é a probabilidade de serem do mesmo sexo?

    • Proponho a seguinte resolução. Utiliza poucas fórmulas, mas é muito palavrosa. Espero não ter cometido nenhum erro!

      Dos dados do problema ficamos a saber que há:

      50 homens residentes na cidade;

      45 homens não residentes na cidade;

      70 mulheres residentes na cidade;

      35 mulheres não residentes na cidade.

      No ponto 1 consideramos a totalidade dos clientes (200)

      1.1 A probabilidade de haver uma mulher e um homem ambos residentes na cidade, no sorteio de duas viagens, será a probabilidade de escolher um homem residente na cidade \left( \dfrac{50}{200}\right) e a de uma mulher não residente na cidade, a seguir ao homem \left( \dfrac{70}{199}\right), acrescida da probabilidade de escolher uma mulher residente na cidade \left( \dfrac{70}{200}\right) e a de um homem não residente na cidade, a seguir à mulher \left( \dfrac{50}{199}\right):

      \dfrac{50}{200}\times \dfrac{70}{199}+\dfrac{70}{200}\times \dfrac{50}{199}=\dfrac{35}{199}\approx 17,59\%

      1.2 A probabilidade de haver dois homens não residentes na cidade, no sorteio de duas viagens, será a probabilidade de escolher um homem não residente na cidade \left( \dfrac{45}{200}\right) e de outro homem não residente na cidade, a seguir ao primeiro \left( \dfrac{44}{199}\right):

      \dfrac{45}{200}\times \dfrac{44}{199}=\dfrac{99}{1990}\approx 4,97\%

      Observação: na primeira escolha há ainda todos os clientes, enquanto que na segunda há um a menos.

      No ponto 2 consideramos apenas os 120 clientes residentes na cidade. A probabilidade de serem do mesmo sexo corresponde à probabilidade de serem ambos homem ou ambos mulheres. A probabilidade de serem ambos homems é igual à probabilidade de escolher um homem residente na cidade \left( \dfrac{50}{120}\right) e a de outro homem residente na cidade, a seguir ao primeiro \left( \dfrac{49}{119}\right). A probabilidade de serem ambas mulheres é igual à probabilidade de escolher uma mulher residente na cidade \left( \dfrac{70}{120}\right) e a de outra mulher residente na cidade, a seguir à primeira \left( \dfrac{50}{199}\right). A probabilidade total será a soma das duas:

      \dfrac{50}{120}\times \dfrac{49}{119}+\dfrac{70}{120}\times \dfrac{69}{119}=\dfrac{26}{51}\approx 50,98\%

      Observação: na segunda escolha há um cliente a menos do que na primeira.

      Reparar que sortear duas viagens duma só vez é equivalente a sortear primeiro uma e depois a outra, sem reposição do cliente sorteado.

  31. Luis diz:

    Queria que resolvesse esse equeno poblema para mim,
    Um funcionário encarregado de empilhar 72 blocos de ceramicas
    percebeu que o numeroo de blocos de cada pilha era o dobro do numeros de pilhas,sabendo que todas as pilhas tem a mesma quantidade de blocos pode-se concluir que cada pilha era

  32. Hélio césar diz:

    Professor Américo, preciso da sua ajuda.
    Como demonstrar o Teorema Binomial?

  33. Alessandra Negra diz:

    Professor Américo! Escolhi na faculdade um curso que não tivesse matemática, mas, como o senhor sabe isso é impossível. Gostaria se possível que o senhor me ajudasse nessas questões de probabilidade!
    Desde já agradeço…..

    1) Numa cidade do interior de São Paulo, estima-se que cerca de 20% dos habitantes têm algum tipo de alergia. Sabe-se que 50% dos alérgicos praticam esporte, enquanto que essa porcentagem entre os não alérgicos é de 40%. Para um indivíduo escolhido aleatoriamente nessa cidade, obtenha a probabilidade de:
    a) Não praticar esporte.
    b) Ser alérgico dado que não pratica esportes.

    2) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo vermelho, outro é todo amarelo e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e a outra, mostrada ao jogador, ser amarela?

    3) Um torneio é disputado por 4 times A, B, C e D. É 3 vezes mais provável que A vença do que B, 2 vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar cada um dos times?

    4) Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.

    5) Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição:

    Condição Número de pessoas Homens Mulheres Total

    Menores 15 17 32

    Adultos 18 10 28

    Total 33 27 60

    Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se:

    a) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulta, qual a probabilidade de ser homem?

    b) dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor?

  34. Alessandra,

    Sou engenheiro reformado. Este meu blogue não é um sítio de perguntas e respostas. Há, em inglês, o Mathematics Stack Exchange (veja o link na barra lateral), onde poderá, penso eu, colocar as suas questões, uma de cada vez, depois de as traduzir para inglês.

    Apresento-lhe uma proposta de resolução da quarta questão, «Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5.», partindo do princípio que «divisível por 3 ou por 5» significa “divisível por 3 ou divisível por 5, podendo ser simultaneamente divisível por 3 e por 5”, isto é, o “ou” não é um “ou” exclusivo, o que seria «divisível ou por 3, ou por 5, mas não por 3 e por 5 em simultâneo».

    Os múltiplos de 3 entre 1 e 300 formam a seguinte progressão aritmética com 100 termos:

    3\times 1,3\times 2=6,3\times 3=9,...,3n=300

    Um raciocínio semelhante para o divisor 5 permite concluir que há \dfrac{300}{5}=60 múltiplos.

    Destes, há 20 que são múltiplos de 3:

    15,30,45,60,75,

    90,105,120,135,150,

    165,180,195,210,225,

    240,255,270,285,300.

    Os restantes 60-20=40 não são múltiplos comuns.

    O número de múltiplos de 3 ou de 5 compreendidos entre 1 e 300 é igual pois a 100+40=140.

    A probabilidade de um número (escolhido ao acaso) compreendido entre 1 e 300 ser divisível por 3 ou 5 é o quociente entre estes 140 e o número total 300:

    \dfrac{140}{300}=\dfrac{7}{15}=0,466\,67\approx 46,67\%.

  35. Ilda diz:

    ME AJUDE A RESOLVER.
    O Jose tem 9 laranjas. As laranjas sao iguais em cor e em tamanho, mas uma é mais pesada do que as restantes. O Jose tem uma balanca com dois pratos. Podendo realizar apenas duas pesagens, como é que o Jose sabera qual é a laranja mais pesada?

  36. andre diz:

    um fabricante vende um produto por 0,80 centavos a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa de 40,00 reais mais o custo de produção de 0,30 centavos por unidade.
    a- qual o número de unidades que o fabricante deve vender para não ter lucro nem prejuízo?
    b- se vender 200 unidades desse produto, o comerciante terá lucro ou prejuízo?

    • Sugestão: Repare que o preço de custo tem uma componente fixa (isto é, independente do número de unidades produzidas) e uma variável (com o número de unidades produzidas) e o preço de venda só uma componente variável. Admita que o fabricante vende n unidades e determine os preços totais de custo e de venda. Quando os dois preços forem iguais, não haverá lucro nem prejuízo. Se o de custo for inferior (superior) ao de venda, o fabricante terá lucro (prejuízo). Escreva a equação que traduz o problema, resolva-a em ordem a n e veja se o valor assim obtido é menor, igual ou maior do que 200.

  37. aline andrade diz:

    ricardo e andre colecionam figurinhas.Ricardo sabe que tem mais de 200 e menos de 250 unidades em sua coleção.André sabe que tem mais de 300 e menos de 400. Um fato interessante é que se ambos os meninos recebessem mais uma figurinha e resolvessem contar de duas em duas, de três em três, de quetro em quatro ou de cinco em cinco, não haveria sobra de figurinhas em nenhuma dessas contagens. A quantidade total de figurinhas, das duas coleções juntas, é igual a?

    • Se r for o número de figurinhas do Ricardo e a o do André, teremos 200 < r < 250 e 300 < a < 400. Além disso tanto r+1 como a+1 deverão ser múltiplos de 2,3,4 e 5. Como os múltiplos de 4 são também múltiplos de 2, basta que r+1 e a+1 sejam múltiplos de 3,4 e 5, pelo que deverão ser múltiplos de 3×4×5 = 60. Então r+1=240 e a+1=360, donde r+a=240+360-2=598.

  38. ana claudia dos santos diz:

    Em uma votação feita em uma certa empresa participaram 800 empregados. Haviam duas propostas A e B e o empregado podia aceitar ambas as propostas, apenas uma delas ou mesmo rejeitar ambas. O resultado é dado na tabela abaixo.
    proposta A sim=380 não=420
    proposta B sim=530 não=270

    Sabendo que um grupo de 212 empregados já haviam informado que votariam contra as duas propostas (e supondo que assim o fizeram), é possível determinar quantos empregados votaram favoravelmente a ambas as propostas? Se sim, quantos seriam

  39. Jose Julio amorim costa diz:

    Analisando a questão, temos :
    Total de funcionários 800;
    Número de funcionários que votaram na proposta A:380
    Número de funcionários que votaram na proposta B: 530;
    Nº de funcionários que não votaram em nenhuma: 212. Então:
    800-212=588
    para encontrar B basta fazer 588-A= 588-380=208
    e para encontrar o número de funcionários que votaram nas propostas A e B basta fazer B-208= 530-208=322. Portanto conclui-se que 322 funcionários votaram nas duas propostas

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